Ejercicios del teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Historia

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de lageneralización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.2 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos,el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.3
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la alturarespecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani4 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de ladistancia angular entre el Sol y la Tierra.5 6 Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,7 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, alparecer, lo redescubrió independientemente.8
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.
El teorema y sus aplicaciones

Elteorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y loslados adyacentes:
.
los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulossemejantes ABC y A'B'C'
.
[editar]Demostraciones
Por desglose de áreas


Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.
Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que
a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
ab cos(γ) es el área de unparalelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).
Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
En verde,...