ejercicios derivacion

UNIVERSIDAD DE LA SABANA
Facultad de Ingenier´ıa
Matem´
aticas I
Examen Final - 1 de Junio de 2010
NOTA:
Respuestas sin procedimiento no tienen valor alguno.
Cada punto tieneel mismo valor.
No se resuelven dudas en el parcial.
La calculadora es de uso personal e intransferible.

1. Calcule los siguientes l´ımites:
sin(x−1)
2
x→1 x +x−2
√
2 −x+2l´ım 4x5x−1
x→−∞

x−4 +x3
3
x→∞ 2x +x−3

d ) l´ım

a) l´ım
b)

√

c) l´ım

n→−∞

2. Calcule

n2 + n −

√

√

x−x2
√
1−
x
x→1

e) l´ım
n2 + 10

dydx
x+1

c) y = xsin x
√
√
d ) 3 x + 3 xy = 4y 2

a) y = 3 x−1
b) y =

3

log4 (3x)

3. Ricardo se encuentra en el suelo en el punto P = (2, 0) y Luisa esta en lamon√
ta˜
na rusa, que describe la curva y = x. En qu´e punto (a, b) de la monta˜
na
rusa la distancia entre los muchachos ser´a la m´ınima?
4. A media noche, el barco A est´a a 100km al este del barco B. El barco A navega
a 12 Km/h y el barco B a 10 Km/h. ¿A qu´e hora se encontrar´an a la distancia
m´ınima uno del otro? ¿Cu´al es esa distancia?

1

5.Sea f (x) =

ln x
.
x

Analice a f , encontrando:

a) Dominio y cortes con los ejes.
b) As´ıntotas horizontales y verticales.
c) Intervalos de crecimiento/decreciemiento.
d) Punto cr´ıticos, m´aximos y m´ınimos locales.
e) Intervalos de concavidad y puntos de inflexi´on.

6. El agua sale de un dep´osito en forma de cono invertido a una relaci´on de10000
cm3 /min al mismo tiempo que se bombea agua al dep´osito a una proporci´on
constante. El dep´osito mide 6 m de alto y el di´ametro en la parte superior es
de 4 m. Si elnivel del agua se eleva a una relaci´on de 20 cm/min cuando la
altura del agua es de 2 m, calcule la proporci´on a la cual el agua est´a siendo
bombeada hacia el tanque.

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