ejercicios derivadas

Problemas resueltos de derivadas
Derivada de una constante
Derivada de las potencias
Derivada del producto de una función por una constante
Derivada de la suma
Derivada del producto
Derivada del cociente
Segunda derivada y derivadas de orden superior
Derivadas de las funciones trigonométricas
• Derivada del seno
La regla de la cadena
Problemas de razones de cambio
Problemas deaplicación de máximos y mínimos

Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010

Para cualquier inquietud o consulta escribir a:
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quintere2006@yahoo.com
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1

DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Si c es una constante y si f(x) = c, entonces
f’ (x) = 0
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123
f(x) = 5
f’ (x)= 0
DERIVADA DE LAS POTENCIAS
La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos
Si n es un entero negativo y x ≠ 0
d ⎛ n⎞
n -1
⎜x ⎟ = n x
dx ⎝
⎠
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124
f(x) = x8

( )

d 8
x = 8 x 8 -1
dx
f ' (x ) = 8 x 7
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124
f(x) = x

d
(x ) = x1-1
dx
f ' (x) = x 0
f’ (x) = 1
Derivada del producto de una función por una constante
Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por
g (x) = c f(x)
y si f ’existe, entonces
g’ (x) = c f ’ (x)
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125
f(x) = 5 x7

( )

d
d
5 x 7 = 5 (x )7
dx
dx
2

f ' (x ) = 5 (7 ) x 7-1
f ' (x ) = 35 x 6
DERIVADA DE LA SUMA
Si f y gson funciones y si h es la función definida por
h(x) = f(x) + g(x)
y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces
h’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126
f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5

(

)

d
d
d (x )3
d
(x ) + d (5)
7 x 4 - 2 x 3 + 8 x + 5 = 7 (x )4 - 2
+8
dx
dx
dx
dx
dx
f ' (x ) = 7 (4 )(x )4-1 - 2 (3)(x )3-1 + 8 (1)(x )1-1 + 0

f ' (x )= 28 (x )3 - 6 (x )2 + 8 (x )0 + 0
f ' (x ) = 28 x 3 - 6 x 2 + 8
Calcular la derivada
y = 3 x -4 + 3 x 4
y' =

( ) ( )

d 3x - 4 d 3x 4
+
dx
dx

y’= (3) (-4) x
y’= -12x

-5

-4 -1

+ (3) (4) x

4 -1

+ 12x 3

ordenando
12
y' = 12x 3 x5
DERIVADA DEL PRODUCTO
Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la
derivada de laprimera.
Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es,

d
(uv ) = u dv + v du
d
dx
dx
La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.

3

’
’
’
En notación prima, (u v) = u v + v u

Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127
Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2)
Primer termino = (2x3 – 4x2)Segundo termino = (3x5 + x2)

[(

)]

)(

d 2 x 3 - 4x 2 3 x 5 + x 2
dx
d
d
h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2
3 x5 + x2 + 3 x5 + x2
2 x3 − 4 x2
dx
dx

h ' (x ) =

(

) [

(

](

)[

) [

](

]

)[

h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 (5) x 5-1 + 2 x 2-1 + 3 x 5 + x 2 2 (3) x 3-1 - 4 (2 ) x 2-1

]

h ' ( x) = ⎛ 2x 3 - 4x 2 ⎞ ⎡ 15 x 4 + 2 x ⎤ + ⎛ 3x 5 + x 2 ⎞ ⎡6 x 2 - 8 x ⎤
⎜⎟⎢
⎟⎢
⎥ ⎜
⎥
⎝
⎠⎣
⎦ ⎝
⎠⎣
⎦
Resolviendo el polinomio

h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4 x 4 - 8 x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3
h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4x 4 - 8x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3
Reduciendo términos semejantes
h ' ( x) = 48 x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3
Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131
Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x)Primer termino = (3 x – 2 x2)
Segundo termino = (5 + 4 x)

[(

)

]

d 3 x - 2 x 2 (5 + 4 x )
dx
d
[5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) d 3 x − 2 x 2
f ' ( x) = 3 x - 2 x 2
dx
dx

f ' (x ) =

[

(

)

f ' ( x) = 3 x - 2 x 2

(

)[ 4] + (5 + 4 x ) [3 - 2 * 2 x 2-1 ]

(

)[ 4] + (5 + 4x ) [3 - 2 * 2x1 ]

[

]

]

f ' ( x) = 3x - 2x 2

f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + (5 + 4...