ejercicios derivadas

1. Ejercicios: derivadas
1. Hallar derivada de las funciones que se indica:
a) f (x) = 4 − ax2. Resp. f (x) = −2ax
2
b) f (x) = x+1 . Resp. f (x) = x x−1
2
x
3 +1
x3 −1
. Resp. f (x) = 2xx2
x
a−x
2a
a+x . Resp. f (x) = − (a−x)2
3x+2
5
2x+3 . Resp. f (x) = (2x+3)2
1 2
x + x . Resp. f (x) = 2
3 +1
x3 −1
. Resp. f (x) = 2xx2
x

c) f (x) =
d) f (x) =
e) f (x) =
f ) f (x) =g) f (x) =

10. Verificar por reglas de L’Hopital:
arcsenx − arctgx
a) l´
ım
= −1
x→0 arccosx − arcctgx
(a + x)x − ax 1
b) l´
ım
=
x→0
x2
a
2
ln(x + 1)
√ =4
c) l´
ım
x→∞ ln(1 +
x

1
x − x3

2. Derivar implícitamente:
a) 3x − 2y + 4 = 2x2 + 3y − 7x. Resp. y = 2 − 4x
5
y
2
2
b) x + y − 16 = 0. Resp. y = − x
c) x2 − 2xy + y 2 = x. Resp y =
√
√1−cosx
1+cosx

=⇒ y= 1
2
√
b) y = 2x arctg(2x) − ln 1 + 4x2 =⇒ y = 2arctg(2x)
√
c) y = arcsenx + arcsen 1 − x2 =⇒ y = 0
a
a
d) y = x2arctg x + a2arcctg x + ax =⇒ y = 2xarctg x
a
4. Calcular usando derivación logarítmica:
a) f (x) = (x + 1)x + (ex)x

b) f (x) = (x)e

2 −4x+7

4

b) y = e

2

1
x2

c) y =
d) y =

x2
1+x2
x3
1−x

7. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva elpunto dado:

f (x) =

f (x) =

c) y =

b) y = 2x4 − x2 − 4

f (x) =

x2 − 1,

x≤1

2x − 2,

x>1

x2 − 2,

x≤2

2x − 2,

x>2

x2 ,

x≤0

x2 + 2x,

x>0

16. Estudia la derivabilidad de la función f (x) = |x2 − x −
6|
17. Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en el
punto x = 1:
x2 − 1,

x≤1

2x − 2,

x>1

18. Hallar a y b para que lasiguiente función sea continua y derivable en x = 1:

d) y = x ln x

a) la función es discontinua en x = 3
b) f (x) > 0 en (−∞, −1) ∪ (−1, 1)
c) f (x) < 0 en (1, 3) ∪ (3, ∞)
d) f (x) > 0 en (−∞, −1) ∪ (−1, 1)

x>2

15. Hallar la primera y la segunda derivada de la funcion
f (x) = x |x|

ln x
x

9. trazar la gráfica de la función que satisface lo siguiente:

x + 3,

14. Estudiar laderivabilidad de la función

f (x) =

a) y = −x3 + 4x − 1

x≤2

13. Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en el
punto x = 1:

a) x = cos(x2y) + 3y 2 − 4 en P (0, 1)
b) 18y = (x3 + y)2 en P (2, 8)
√ 3
c) 9x2 + 4y 2 = 36 en P ( 2, √2 )
8. Determinar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Graficar:

2x + 1,

12. Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en elpunto x = 1:

b) (x − 2)2 + (y + 3)2 = 16

6. Determinar intervalos de concavidad, puntos de inflexión y graficarlas:
a) y = e−x

f (x) =

x

5. Determinar la pendiente de las siguientes curvas en
sus intersecciones con los ejes coordenados:
a) y = ln x

11. Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en el
punto x = 2:

1+2(y−x)
2(y−x)

3. Verificar el valor de lassiguientes derivadas:
a) y = arctg

e) f (x) < 0 en (−1, 3)
f ) f (0) = f (2) = 0 y f (1) = 2

f (x) =

ax − 2,

x≤1

3x − b,

x>1

19. Continuidad y derivabilidad de la función f (x) = |x2 −
1| + 2|x − 1|. Resp. Siempre continua. No derivable en
x±1
20. Dadas las funciones f (x) = (x + 1)2 y g(x) = x2. Calcular:
a) (f ◦ g) (x)

b) (g ◦ f ) (x)

21. Hallar la fórmula de la derivadaenésima de la fun10
ción f (x) =
. Ayuda: toma f (x) = 10(x − 5)−2
2
(x − 5)
22. Hallar la primera derivada de la función y = f (x), que
está definida implícitamente por la ecuación
x3 y 2 5
+
=
y 2 x3 2
Resp. y =

3y
2x

Aplicaciones de la derivada
1. Hallar los puntos de la gráfica de y = 4−x2 que están
más próximos del punto (0, 2).
2. Halla todos los puntos críticos y deinflexión de la
función y = −3x4 + 4x3. Si te queda tiempo grafica.
3. Halla todos los puntos críticos y de inflexión de la función y = x4 + 8x3 + 22x2 + 24x + 9. Si te queda tiempo
grafica.
4. Estudia la concavidad de la función y = x3 − 6x2 + 9x
5. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco
veces su inverso sea mínima. Resp x = 5
6. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos...