Ejercicios ecuaciones diferenciales aplicando transformadas de laplace

Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace
Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales:

 dy 5t  − 2y = e 1)  dt  y ( 0) = 3 

 y´´( t ) + 4 y ( t ) = sin 3t  2)  y ( 0 ) = 0   y´( 0 ) = 0

 ∂2 y ∂y  ∂t 2 − 2 ∂t − 8 y = 0   3)  y ( 0 ) = 3   y´( 0 ) = 6  

d 2 y −2 t  dt 2 + y = e sin t  4)  y ( 0 ) = 0   y´( 0 ) = 0  

 y ''+ 5 y '+ 4 y = 0  5)  y ( 0 ) = 1   y ' ( 0) = 0

16 y ''− 8 y '+ 17 y = 1  6)  y ( 0 ) = 0   y ' (0) = 1

7)

d3y d2y dy + 4 2 + 5 + 2 y = 10 cos t  dt 3 dt dt   y (0) = 0   y ' ( 0) = 0   y '' ( 0 ) = 3 

 y '''− 5 y ''+ 7 y '− 3 y = 20sin t   y ( 0) = 0 8)   y ' ( 0) = 0  y '' ( 0 ) = −2 

Elaborado por Lcdo.Eliezer A. Montoya Z.

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 dy 5t  − 2y = e 1 )  dt  y ( 0) = 3  Solución: Dicho problema se encuentra resuelto en el texto UNA Matemática V. Tomo II .Ingeniería. Página 805. Usare 4 pasos fundamentales para explicar lo que se quiere encontrar, la solución única de la ecuación diferncial, revísalos,analízalos y apréndelos para que ataques los problemas propuestos 1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

 dy  L   − 2 L { y ( t )} = L {e5t } (A)  dt 
Donde:
 dy  L   = sL { y (t )} − y ( 0 ) = sy ( s ) − 3  dt  L { y ( t )} = y ( s ) L {e5t } = 1 s −5 ya que: L {e at } = 1 s−a

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

dy  L   − 2 L { y ( t )} = L {e5t }  dt  1 ( sy( s) − 3) − 2 y (s) = s −5 1 1 + 3s − 15 −3 = y ( s ) [ s − 2] = s −5 s −5 y (s) = 3s − 14 ( s − 5)( s − 2 )

 Sacando factor común, luego     sumando fracciones algebraica 

( Despejando a y (s) )
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Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z.

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3°) Debemos ahora calcular L−1 { y ( s )} = y ( t ) Primeramente debemos descomponer en fracciones parciales (Caso I) para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

3s − 14 A B = + ( s − 5)( s − 2 ) ( s − 5) ( s − 2 )
Para hallar el valor de A, multiplicamos por (s-5) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s=5

( s − 5)
∴A=

3s − 14( s − 5) ( s − 2)

= ( s − 5)

A

( s − 5)

+ ( s − 5)

B ( s − 3)

3s − 14 3(5) − 14 1 1 = = → A= 5−2 3 3 s−2

Para hallar el valor de B, multiplicamos por (s-2) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s=2

( s − 2)
∴B =

3s − 14

( s − 5) ( s − 2)

= ( s − 2)

A B + ( s − 2) ( s − 5) ( s − 2)

3s − 14 3(2) − 14 −8 8 = = = → B=8 3 2−5 −3 3 ( s − 5)

4°)Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición Como: L−1 { y ( s )} = y (t )

 3s − 14    −1  8 / 3      −1  1/ 3  L−1  =L  + L    ( s − 5 )( s − 2 )   ( s − 5)   ( s − 2)         1  1  8 −1  1     = L−1  + L   3  ( s − 5)  3  ( s − 2 )     
1 8 = e 5t + e 2 t 3 3 1 8 ∴ y (t ) = e5t + e 2t(Solución de la ecuación diferencial) 3 3 Podemos ver que también es cierta y(0)=3…. Verifícalo
Elaborado por Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/

 Usamos tablas   L−1  1  = e at    s − a 

    

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 y´´( t ) + 4 y ( t ) = sin 3t  (2)  y ( 0 ) = 0   y´( 0 ) = 0
Solución:
1°) Apliquemos elLaplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

d2 y  L  2  + 4 L { y ( t )} = L {sin 3t } (A)  dt 
Donde:

d 2 y  L  2  = s 2 L { y (t )} − s. y ( 0 ) − y ' ( 0 ) = s 2 y ( s ) − 0 − 0 = s 2 y ( s )  dt  4 L { y ( t )} = 4 y ( s ) L {sin 3t} = 3 s +9
2

ya que: L {sin bt} =

b s + b2
2

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

s2 y ( s...