Ejercicios ecuaciones diferenciales

Matemáticas IV

Taller 5.

1. Solucionar el sistema X = AX donde la matriz A es A= 1 2 −2 1

Hacer un esquema del diagrama de fase del sistema con la trayectoria correspondiente a la condicióninicial x1 (0) = 1 2. Resolver el sistema x = 8x + 9y y = −x + 2y 3. Resolver el sistema x = 5x + 5y + 2z y = −6x − 6y − 5z z = 6x + 6y + 5z 4. Dos cantidades de una solución química están separadaspor una membrana. Si x(t) y y(t) representan las cantidades de químico en el tiempo t en cada lado de la membrana y si V1 y V2 representan los volúmenes constantes de cada solución; el problema dedifusión se puede modelar mediante el sistema: p p p p y = x− y x = y− x V2 V1 V1 V2 p es una constante positiva, llamada la permeabilidad de la membrana. Halle la solución del sistema. Si x(0) = x0 yy(0) = y0 determine el comportamiento del sistema cuando t → ∞ 5. El cambio en las cantidades x y y de dos sustancias que intervienen en cierta reacción química se puede describir con el sistema: x = −3x+ αy y = βx − 2y x(0) = y(0) = 1 x2 (0) = 1

α y β son parámetros que dependen de condiciones como la temperatura, la humedad, etc. ¿Existen valores de α y β para los que la solución es periódica?1

Matemáticas IV

Taller 5.

6. Considere el sistema x = −x − y y = −βx − y donde β es un parámetro. Encuentre una fórmula para los valores propios en términos de β. Halle los valorespropios para β = 0.5 y β = 2. En los dos casos el comportamiento del sistema es diferente. ¿Para qué valor entre 0.5 y 2 se da el cambio? (Ese valor es llamado punto de bifurcación.) 7. Resolver el sistemax (t) = 3x(t) + 2y(t) y (t) = −2x(t) − y(t) 8. Resolver el sistema x 1 + x 1 + x 2 − x 2 = et x 1 − x1 + x 2 + x 2 = t 9. Resolver el sistema x = 2x + y + 3e2t y = −4x + 2y + te2t 10. Dado el sistemade ecuaciones X = 1 1 4 −2 x(0) = 0 y(0) = 0 x1 (0) = x2 (0) = 0

si m1 y m2 son dos valores propios y V1 y V2 dos vectores propios correspondientes, sea P la matriz que tiene a V1 y V2 como...