Ejercicios Ecuaciones en Diferencias

UNED. ELCHE.
TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.)

e-mail: imozas@elx.uned.es
http://telefonica.net/web/imm

EJERCICIOS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS PROPUESTOS EN
EXÁMENES

1.En las ecuaciones lineales en diferencias, tenemos el modelo de la telaraña, que se
refiere a la versión discreta del modelo de ajuste del precio de un bien en el mercado. En base a
ello y haciendo uso de los siguientesdatos para el modelo de la telaraña:
D t = 5 − 3Pt
siendo P0 = 4
S t = −2 + Pt −1
Se pide calcular:

1) La trayectoria temporal del precio
2) La tendencia del precio a largo plazo
3) La representación gráfica de la solución del modelo

(En. 2005)
Solución.1) Igualando las expresiones de la oferta y de la demanda, se obtiene la ecuación en
diferencias: 3Pt + Pt–1 = 7. La ecuación característica de laecuación homogénea es 3λ + 1 = 0
t
−1
 − 1
→λ=
, luego la solución general de la ecuación homogénea es Pt = C   ; por otra
3
 3 
parte, una solución particular de la ecuación completa se obtiene haciendo Pt = A →
7
→ 3A + A = 7 → A = . Luego la solución general de la ecuación completa es
4
t
7
9
 − 1 7
Pt = C   + . Para t = 0, se obtiene 4 = C + → C =
de donde la trayectoria temporal
44
 3  4
t

9  −1 7
del precio es Pt =   + .
4 3  4

2) Haciendo que t → ∞, se obtiene que Pt →

7
4

3)
5

4

3

72
4
1

0

1

2

3

–1/6–

4

5

Ejercicios de ecuaciones en diferencias

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2,.-

(Sep 05)
1) Igualando las expresiones de la oferta y de la demanda, se obtiene laecuación en
diferencias: 2Pt + 3Pt–1 = 120. La ecuación característica de la ecuación homogénea es 2λ + 3 =
t
−3
 −3
0→λ=
, luego la solución general de la ecuación homogénea es Pt = C 
 ; por otra
2
 2 
parte, una solución particular de la ecuación completa se obtiene haciendo Pt = A →
→ 2A + 3A = 120 → A = 24. Luego la solución general de la ecuación completa es
t
 −3
Pt = C 
 + 24, que esel valor de equilibrio del precio.
 2 
3
2) Puesto que − > 1, el precio es inestable
2
3) Para t = 0, se obtiene 25 = k + 24 de donde la trayectoria temporal del precio es
t
 −3
Pt = 
 + 24 . Se tiene entonces: P(1) = 22,5; P(2) = 26,25; P(3) = 20,625; P(4) = 29,0625
 2 
3.-

(Sep 06)

Solución.El polinomio característico t3 + 3t2 + 3t + 1 tiene la raiz t = − 1, triple, luego la solucióngeneral de la ecuación homogénea es y1(x) = C1(−1)x+C2x(−1)x+C3x2(−1)x.
Para buscar una solución particular de la ecuación completa, ensayaremos una solución
de la forma y2(x) = k·6x. Se cumplirá pues:
1
216k6x + 108k6x + 18k6x + k6x = 6x ↔ k =
343
La solución general de la ecuación en diferencias es:
6x
x
x
2
x
yx = y1(x) + y2(x) = C1(−1) +C2x(−1) +C3x (−1) +
343

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Ejercicios de ecuacionesen diferencias

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4.-

(Sep 06 res)
Solución.-

2π
2π
2π
2π
−isen
+isen
, cos
.
3
3
3
3
2π
2π
x + C3sen
x.
La solución general es, por tanto: yx = C1 + C2cos
3
3
Las únicas soluciones convergentes se obtienen cuando C2 = C3 = 0
5.- Resolver la siguiente ecuación en diferencias finitas:
yx+2– 2yx+1 + 2yx = x
(En.-07-or)
con las condiciones iniciales: y0 = 1, y2 = 0
Solución.π
π

La ecuación característica r2 – 2r + 2 = 0 tiene las soluciones r1 = 2  cos + isen 
4
4

π
π

y r2 = 2  cos − isen  . Por tanto la solución general de la ecuación homogénea será:
4
4

x
πx
πx 
+ c 2 sen 
2  c1 cos
4 
4

Una solución particular de la completa será de la forma k1 + k2x.Sustituyendo en ñla
ecuación dada:
k1 + k2(x+2) – 2[k1+k2(x+1)] + 2(k1 + k2x) = x
Identificando coeficientes se obtiene que k1 = 0 y k2 = 1. Así pues la solución general de
la ecuación dada será:
x
πx
πx 
+ c 2 sen  +x
yx = 2  c1 cos
4
4 

Para las condiciones iniciales dadas se tiene:
c1 = 1

c1 = 1 

2
2π 
2π
 →

+ c 2 sen  + 2 = 0
2  c1 cos
c 2 = −1
4 
4


Así pues la solución...