Ejercicios ecuaciones e inecuaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Encuentre una de las soluciones reales de las ecuaciones:

a. ඥ(2x + 3) + ඥ(5 − 8x) = ඥ(4x + 7);

Respuesta: X = 1/2

Solución
Elevando todo al cuadrado se obtiene:
ଶ

ൣ√2x + 3 + √5 − 8x൧ = ൣ√4x + 7൧

ଶ

Lo de la derecha es la propiedad algebraica: (‫)ܽ + ݔ‬ଶ = (‫ ݔ‬ଶ + ૛ࢇ࢞ + ܽଶ )
ଶ

ଶ

൫√2x + 3൯ + ૛ ൫√૛‫ +ܠ‬૜൯ ൫√૞ − ૡ‫ܠ‬൯ + ൫√5 − 8x൯ = 4x + 7
ଶ

Aplicando la propiedad: √a = a

ଶ

Se obtiene por ejemplo ൫√2x + 3൯ = 2x + 3

2x + 3 + ૛ ൫√૛‫ + ܠ‬૜൯ ൫√૞ − ૡ‫ܠ‬൯ + 5 − 8x = 4x + 7

−6x + ૛ ൫√૛‫ + ܠ‬૜൯ ൫√૞ − ૡ‫ܠ‬൯ + 8 = 4‫7 + ݔ‬

Sumando términos comunes queda:
2 ൫√2x + 3൯ ൫√5 − 8x൯ = 10x − 1
Aplicando la propiedad de raíces √a • √b = √a • b
2 ඥ(2‫1 − ݔ01 = )ݔ8 − 5()3 + ݔ‬Resolviendo el producto dentro de la raíz
2 √−16‫ ݔ‬ଶ − 14‫1 − ݔ01 = 51 + ݔ‬
Elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado
ଶ

ቂ2 ඥ−16‫ ݔ‬ଶ − 14‫51 + ݔ‬ቃ = (10‫)1 − ݔ‬ଶ
Resolviendo los términos
4(−16‫ ݔ‬ଶ − 14‫ ݔ001 = )51 + ݔ‬ଶ − 20‫1 + ݔ‬

ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

−64‫ ݔ‬ଶ െ 56‫ ݔ‬൅ 60 ൌ 100‫ ݔ‬ଶ െ 20‫ ݔ‬൅ 1
Sumando términos semejantes y pasándolos todos a laizquierda:
െ164‫ ݔ‬ଶ െ 36‫ ݔ‬൅ 59 ൌ 0
Al multiplicar por -1 la ecuación queda:

164‫ ݔ‬ଶ ൅ 36‫ ݔ‬െ 59 ൌ 0

Factorizando: ሺ2‫ ݔ‬െ 1ሻሺ82‫ ݔ‬൅ 59ሻ ൌ 0
Al despejar x se obtiene:

Por tanto una de la solución es
b.

‫ ݔ‬ൌ 1/2 ó ‫ ݔ‬ൌ െ59/82
‫ ܠ‬ൌ ૚/૛

(1) (2)

3x (x + 2) + x = 2x (x + 10) + 5 (x – 10) - 27;
Respuesta: +X =7 o X =11
Solución3x ଶ ൅ 6‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬ൌ 2x ଶ ൅ 20‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 50 െ 27
x ଶ െ 18‫ ݔ‬൅ 77 ൌ 0
ሺ‫ ݔ‬െ 7ሻሺ‫ ݔ‬െ 11ሻ ൌ 0→ X=7 o X=11

2. Resuelva los siguientes problemas y halle el conjunto solución:
a. La diferencia de los cuadrados de (5 +7x) y (1 - 8x) vale 79. Hallar el valor de x.
Respuesta: ‫ = ܠ‬૞ ; ‫ = ܠ‬૚૚/૚૞
Solución
(5 ൅ 7xሻଶ െ ሺ1 െ 8xሻଶ ൌ 79ሺ49x ଶ ൅ 70x ൅ 25ሻ െ ሺ64x ଶ െ 16x ൅ 1ሻ ൌ 79
49x ଶ ൅ 70x ൅ 25 െ 64x ଶ ൅ 16x െ 1 ൌ 79
െ15x ଶ ൅ 86x െ 55 ൌ 0
Multiplicando todo por -1:
15x ଶ െ 86x ൅ 55 ൌ 0
Factorizando:
ሺx െ 5ሻሺ15x െ 11ሻ ൌ 0
Entonces ‫ ܠ‬ൌ ૞ ó ‫ ܠ‬ൌ ૚૚/૚૞

2

ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA YGEOMETRÍA ANALÍTICA
b. Cuál es el valor conveniente para “b”, tal que la ecuación x2 – b x + 24 = 0 y que una de
las raíces sea 6.
Respuesta: b = ૚૙
Solución
Como una de las soluciones es 6, indica que x = 6, luego, evaluando éste valor en la
ecuación dada y factorizando para despejar b se obtiene:
x2 – bx + 24 = 0
62 - 6b + 24 = 0 → 36 - 6b + 24 = 0
60 - 6b = 0
6(10-b) = 0 → 10- b = 0 → b=103. Resuelva las siguientes inecuaciones y halle el conjunto solución
a.

5
1
1
ሺ3 െ ‫ ݔ‬ሻ െ ሺ‫ ݔ‬െ 4ሻ ൒ ሺ2‫ ݔ‬െ 3ሻ െ ‫ݔ‬
6
2
3
Respuesta: ‫ ܠ‬൑ ૚૚/2
Solución
Desarrollando el producto entre los números fraccionarios y los términos de paréntesis
5 ‫ݔ‬
1‫4 • 1 ݔ‬
1 • 2‫3 ݔ‬
5•3
െ
െ
൅
൒
െ െ‫ݔ‬
6 6 2
2
3
3
Simplificando numeradores ydenominadores
5•3
5 ‫ݔ‬
1‫4 • 1 ݔ‬
1 • 2‫3 ݔ‬
െ
െ
൅
൒
െ െ‫ݔ‬
2
3
3
6 6 2
2‫ݔ‬
5 5 ‫ݔ1 ݔ‬
െ
െ
൅ 2 ൒ െ 1 െ ‫ݔ‬
3
2 6 2
Agrupando términos semejantes a cada lado de la inecuación
5
2‫ݔ1 ݔ 5 ݔ‬
൅ 2 ൅ 1 ൒ ൅
൅
െ‫ݔ‬
3 6 2
2
Haciendo la suma de fraccionarios
5 ൅ 4 ൅ 2 4‫ ݔ‬൅ 5‫ ݔ‬൅ 3‫ ݔ‬െ 6‫ݔ‬
11
6
11
൒
→ ൒ ‫ → ݔ‬
൒‫ݔ‬2
6
2
6
2
3

ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Al pasar la x al lado contrario cambia el sentido de la desigualdad:

b.

3ሺ‫ ݔ‬െ 5ሻଶ െ 12 ൒ 0

x ≤ 11/2

Respuesta: (−∞, ૜ሿ ∪ ሾૠ, +∞)

Solución FORMA ❶ (3) (4)
3ሺx ଶ െ 10x ൅ 25ሻ െ 12 ൒ 0
3x ଶ െ 30x ൅ 75 െ 12 ൒ 0
3x ଶ െ 30x ൅ 63 ൒ 0
Factorizando:...