Ejercicios electromagnetismo

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Ingeniería Civil Eléctrica

LEY DE FARADAY
Problemas Resueltos

Ramo: Ingeniería electromagnética

Problemas Resueltos
1. Una espira conductora circular gira en un campo magnético uniforme, alrededor de un diámetro perpendicular a la dirección del campo, con una velocidad angular de 300 r.p.m.Determinar la frecuencia de la corriente alterna inducida.
Solución
LeydeFaraday: E·dr= -ddtB∙dS
Según la ley de Faraday, la variación temporal de un campo magnético implica la existencia de un campo eléctrico, es decir, la variación del flujo magnético induce una fuerza electromotriz que es proporcional y opuesta a la variación del flujo magnético en la unidad de tiempo, en efecto:∅m=B∙dS→d∅mdt= -ddtB∙dS
Por otro lado;
fem= ε= E∙dr= d∅mdt
Luego;
ε= -ddtB∙dS
Entonces, para el caso de la espira, el flujo magnético que atraviesa la espira en un instante dado es:
∅m=B∙dS= B∙S∙cosθ
Si la espira gira, el ángulo varía con el tiempo: θ= ω∙t

ε= -ddtB∙S∙cos(ωt) = B∙S∙ω∙sin(ωt)
El sentido de esta corriente inducida es tal que se opone a la variación de flujo, produciendo supropio campo magnético. Luego, la frecuencia de esta corriente alterna inducida es:
∅= ω2π= 300∙2π602π=30060=5 Hz
2. Dado E=Emsin(ωt-βz)ây en el espacio vacío. Halle el campo B.
Solución
Para realizar el ejercicio utilizamos la ecuación de Maxwell: ‘Ley de Faraday’, en forma diferencial
∇×E=-dBdt. . . (1)
Primero debemos realizar el rotacional del campo eléctrico:âxâyâzddxddyddz0Emsin(ωt-βz)0=-ddz(Emsin(ωt-βz))

âxâyâzddxddyddz0Emsin(ωt-βz)0=βEmcos(ωt-βz)âz

Igualando en base a la ecuación (1) se tiene entonces:
-dBdt=βEmcos(ωt-βz)âx. . .(2)
Ahora para obtener B debemos integrar la ecuación (2)

-dBdt=βEmcos(ωt-βz)âx·dz
B=-βEmcos(ωt-βz)âx·dz

Por lo tanto, el campo B es:
B=-βEmωsinωt-βzâx [T]

3. Una barra conductora puede deslizarse libremente sobre dos rielesconductores como se muestra en la figura 1. Calcule el voltaje inducido en ella si se estaciona en Y=8 cm y

B=4cos106tazmWbM2

Figura 1
Solución
Sabemos que la fuerza electromotriz estática está dada por:

Vfe=-dBdt·dS

Ahora realizamos la integral anotando los datos dados anteriormente:

Vfe=Y=0 x= 00.08 0.064(10-3)(106)sin106tdxdy

Vfe=0.08(0.06)4(10-3)(106)sin106t

Así la fuerzaelectromotriz corresponde a:

Vfe=19.2sin106t [V]

4. Si una espira conductora rectangular de lados a y b retrocede con velocidad constante v desde un conductor recto que contiene una corriente I, como se muestra en la figura 2, determine la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo. Asuma que al tiempo t = 0, la distancia desde la parte izquierda de la espira al conductor es r = r0.Figura 2
Solución.
La fuerza electromotriz puede ser determinada a partir de la ecuación ξ=dϕdt. El flujo magnético a través de la espira rectangular cuando la distancia es r desde el conductor es la cantidad total de la densidad de flujo magnético dentro del área de la espira como B es dependiente de r, se integra desde r hasta r + a, como B=μ0I2π y solo nos interesa la parte de la espiraes decir B∙d queda

Φ=μ0Ib2πrr+adrr=μ0Ib2πlnr+ar
De la Ley de Faraday se tiene
ξ=-dϕdt=-μ0Ib2πddtlnr+ar=μ0Iba2πrr+adrdt=μ0Iba2πrr+av
Esto se explica ya que como r depende de t es decir r= r0 + vt, al derivar respecto a t debemos aplicar la regla de la cadena ddt=ddr·drdt

5. Un anillo de aluminio de 5 cm de radio y 3×10-4 Ω de resistencia se coloca en la parte superior de un solenoidelargo de núcleo de aire, con 1000 vueltas por metro y 3 cm de radio como se muestra en la figura 3. Alrededor del área del extremo del solenoide, suponga que el componente axial del campo producido por dicho solenoide es solo la mitad que el correspondiente en el centro del mismo. Suponga que el solenoide produce un campo despreciable fuera de su sección transversal. La corriente en el...