Ejercicios Estadística

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

TRABAJO DE ESTADISTICA

Por:
Leidy Gómez Barón
Luis Romero Galvis

Profesor Guía
Sr. Javier Scavia

Santiago, 2013

PROBLEMA 1
Probabilidades
1. Otro estudiante de la clase lanza 10 monedas al aire y contabiliza, al caer éstas, el
número de sellos en cada una de las tiradas realizadas, teniendo como resultado:
0 1 2
3
4
5 6 7 8 9 10Número de lanzamientos
_______________________________________
30 45 79 100 120 126 120 100 79 45 30 Cantidad de Sellos
(a) (20 puntos) ¿Usted podría asegurar que el otro estudiante realizó realmente la
experiencia y no inventó los datos? (tenga en cuenta que el otro estudiante le dijo que
utilizó monedas “justas”, es decir, con una probabilidad de 1 /2 de salir sello).
Considerando quesolo hay 10 monedas, entonces la cantidad de sellos máxima contabilizada en
cada lanzamiento es de 10. Observando la tabla de arriba se nota que para el lanzamiento 0 se
contabilizan 30 sellos, esto solo es posible si se tienen 30 monedas “justas” y además los sellos
contabilizados en todos los lanzamientos posteriores superan el valor de 10, por consiguiente
podríamos concluir que el otroestudiante inventó sus datos.
2. El próximo domingo usted decide realizar un asado entre amigos, de los cuales ya
confirmaron 59 y el resto se ha excusado por motivos personales.
(a) ¿Cuál será la probabilidad de que, al menos dos amigos, estén de cumpleaños ese día?

La probabilidad que al menos dos amigos cumplan el mismo día en un grupo n de personas se
puede calcular como:
Tomando el año con365 días
P (n) = 1 –

P (n) = 1 –

365!

x
(365−𝑛)!
365

365!

1

365 𝑛

𝑛 (365−𝑛)!

(Ecuación 1)

Si n=59, tenemos:
P (59) = 1 –

365!

36559 (365−59)!

= 0,9930

A continuación se presenta la gráfica que nos ilustra la Ecuación 1 anterior, en la cual se observa
que cuando n=59, la probabilidad es aproximadamente igual 0,99.
En conclusión tenemos que cuando sereúnen 59 personas en un lugar, por ejemplo para asistir a
un asado, existe el 99% de probabilidad de que al menos 2 amigos cumplan años ese día.

1

3. Sea Ω un espacio muestral y P(·) una medida de probabilidad. Sean A, B, C ⊆ Ω.
Determine si la siguiente proposición es verdadera o falsa.
Si P (A|C) ≥P(B|C) y P(A|Cc) ≥ P(B|Cc), entonces P(A) ≥ P(B).

(a) Si la proposición es verdadera,demuéstrela. Si es falsa, provea un contraejemplo.
Contraejemplos deben incluir: el espacio muestral Ω, los eventos A, B y C, y la medida
de probabilidad P (·).
Asumiendo que A, B y C son sucesos estadísticamente independientes, es decir que la ocurrencia
de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro tenemos:
Si P (A|C) ≥P(B|C) y P(A|Cc) ≥ P(B|Cc), entonces P(A) ≥ P(B).
Para P(A|C) ≥P(B|C) que:

P (A|C) =

P (B|C) =

P(A ∩ C)
𝑃(𝐶)

P(B ∩ C)
𝑃(𝐶)

=

=

P(A)∗P(C)
𝑃(𝐶)

P(𝐵)∗P(C)
𝑃(𝐶)

Ahora reemplazando tenemos:

P(A)∗P(C)
𝑃(𝐶)

≥

P(𝐵)∗P(C)
𝑃(𝐶)

por consiguiente P(A) ≥ P(B)

2

Para P(A|Cc) ≥ P(B|Cc), que:

P (A|Cc) =

P (B|Cc) =

P(A ∩ Cc)
𝑃(𝐶𝑐)

P(B ∩ Cc)
𝑃(𝐶𝑐)

=

=

P(A)∗P(Cc)
𝑃(𝐶𝑐)

P(𝐵)∗P(Cc)
𝑃(𝐶𝑐)

Ahorareemplazando tenemos:

P(A)∗P(Cc)
𝑃(𝐶𝑐)

≥

P(𝐵)∗P(Cc)
𝑃(𝐶𝑐)

por consiguiente P(A) ≥ P(B)

Tomando los resultados de las desigualdades P (A|C) ≥P(B|C) y P(A|Cc) ≥ P(B|Cc , podemos
concluir que es verdadera la siguiente afirmación:
Si P (A|C) ≥P(B|C) y P(A|Cc) ≥ P(B|Cc), entonces P(A) ≥ P(B).

PROBLEMA 2
1. De experiencias pasadas se sabe que la desviación estándar de lasestaturas de niños
de 5to básico es de 5[cm].
(a) Se seleccionan 36 niños, observándose una media de 130[cm]. Construya un intervalo
de confianza del 95% para la estatura media de la población.
Datos conocidos: Media (), Desviación (𝜎), No. de datos (n)
 = 130 cm
𝜎 = 5 cm
n = 36 niños
Considerando que la varianza es conocida, puesto que se conoce la desviación estándar y
aplicando la formula...