Ejercicios estructuras discretas

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA

Ingeniería de software

Transcripción de ejercicios Estructuras Discretas

Nombre del Profesor: Ing. Zaldívar Zamorategui Orlando 

Nombre del alumno: Rafael Hernández Falcón

Fecha en que se dejo: 26/Mayo/2011
Fecha de entrega: 28/Mayo/2011



A continuación calculamos Imf para determinar donde tiene sentidocalcular la inversa de f. Supongamos que a € Ɍ es un elemento de Imf, es decir que existe un elemento x € Ɍ - {1}/f(x)=a. Entonces:
2x1+x=a→2x=a+ax→2x-ax=a→x2-a=a→x=a2-a
Así pues todo el elemento a € Ɍ, a≠2 tiene antiimagen. Observemos que, en particular del cálculo de Imf se deduce la inversa de f, ya que si una aplicación f tiene inversa f-1 , se tiene que f(a)=b ↔ f-1 (b) =a. Por tanto:f:R--1→R-2 y f-1 (x) = x2-x
(b) Observemos que l campo de existencia de f esta formado por los elementos de R que no anulan el denominador, es decir, Domf=R- {1/2}. Comprovemos que efectivamente f2= IdR
f°fx=f(f(x))=
=x+12x-1=x+12x-1+12x+12x-1-1=x+1+2x-12x-12x+2-2x+12x-1=3x3=x
Por tanto. Tenemos que f2=IdR y de aquí, que f=f-1. Así pues, la inversa de f coincide con f y por tanto tienesentido ∀ xϵR-12.
4.4 Sean A=R-3 y B=R-1.Consideremos la función f:A→B definida por
fx=x-2x-3
que es inyectiva y suprayectiva.Hallar una fórmula para definir f-1
Solución:
De formula análoga a la del problema anterior teniendo en cuenta que si una aplicación es biyectiva fx=y⇔f-1y=x, sabemos que para hallar la función inversa de f bastará expresar x en función de y apartir de laexpresión y=x-2x-3.
Obtenemos en este caso que x=2-3y1-y. Por tanto la función inversa de f pedida es f-1x=2-3x1-y.


4.5 Calcular el dominio de la función f:R⟶R dada por fx=+x+3x2-4.
Solución:
Como f viene definida como una fracción, de tiene que el dominio estará contenido en el conjunto de números reales tal que el denominador no se anule, es decir, tales que x2-4 ≠0. Por otro lado,el numerador viene dado por la raíz cuadrada que únicamente estará definida si x+3≥0. Por tanto en dominio de f se obtendrá mediante la intersección de las don condiciones mencionadas, es decir, x≥-3, x≠2 y x≠2-2. De aquí:
Domf=[-3,-2∪-2,+2∪ 2,+∞[
46. Dada la aplicacion f:Z6 →Z6 tal que fx=4x, clasificarla y calcular la composición nsimade f.
Solución:
Puesta que Z6 es un conjuntoque consta únicamente de seis elementos, calcularemos explícitamente la aplicación f. Así:
f(0)=0 | f(3)=0 |
f(1)=4 | f(4)=4 |
F(2)=2 | f(5)=2 |

Observemos que f no es inyectiva ya que por ejemplo f(0)=f(3) y sin embargo, 0≠3. Por otro lado, f no es suprayectiva puestos que los elementos 1, 3 y 5 no poseen atiimagen por f.
Por ultimo calcularemos la composición n-simade f. Para ello notemos que:
f2x=ffx=f4x=16x=4x=fx,∀x∈Z6
Razonando por inducción sobre n, supongamos que se verifican fn-1x=4x, ∀x∈Z6 y comprobemos que fnx=x,∀x∈Z6.
En efecto:
fnx=ffn-1x=ffx=f2 x=4x,∀x∈Z6. , luego fn=f.




4.7 Sean las funciones reales de variable real f y g dadas por:
fx=x2 , gx= xx-1
Hallar g∘f, f∘g y sus dominios, calcular la función n-sima de f∘gSolución:
Calcularemos en primer lugar la composición de f y g:
g∘fx=gfx=gx2=x2x2-1=xx-1,
f∘gx=fgx=fxx-1=xx-12=xx-1
Observemos que tanto g∘f como f∘g viene dad por dos fracciones , por tanto sus dominios serán aquellos subconjuntos de R cuyos elementos no anulen los denominadores .En caso de que g∘f, como además el denominador viene definido por una raíz cuadrada , se tiene que x∈Domg∘f⟺x2-1>0⟺x∈-∞, -1[∪] 1,+∞[. Por su parte, x∈Domf∘g⟺x≠1, es decir que en este caso obtenemos Domf∘g=R-1.
Veamos por último que es la composición n-sima de h=f∘g:
h2x=hhx=hxx-1=xx-1xx-1-1=xx-1x-x+1x-1=x;
h3x=hh2x=hx=xx-1.
Razonando por inducción de método análogo al ejercicio anterior, podemos deducir que:
hnx=x si n parxx-1 si n es impar
48. Sean:
f1 A⟶B y f2 :C⟶ D ,...