Ejercicios Funcion Exponencial
Páginas: 7 (1717 palabras)
Publicado: 14 de abril de 2012
s1.3.4 Ejercicios resueltos sobre la función exponencial y logarítmica 1. Use las propiedades de la función exponencial (teorema 1) para simplificar totalmente la siguiente expresión:
x −1 5 2 2 ÷ 5 x2 3x ÷ 2 x +1 3 225 ⋅ 5 x 32 ÷ 3 x
( )
( )
( ) ( )
5 x (2 x +1) ⋅ x (1− 2 x ) 3
Solución.
x −1 5 2 2 ÷ 5 x2 3x ÷ 2 x +1 3 225 ⋅ 5 x 32 ÷ 3 x
( )
( )( ) ( )
5 x (2 x +1) 5 4 ÷ 5 x 2 3 6 ÷ 3 x 2 5 2 x 2 + x ⋅ x (1− 2 x ) = 2 2 x 2 ⋅ x 2 − x ⋅ x − 2 x 2 3 3 ⋅ 5 ⋅ 5 3 3 5 4− x ⋅ 36− x ⋅ 5 2 x 3 2 ⋅ 5 2+ x 5 4− x 3 2+ x
2 2 2 2 2 2
=
+x
2
+x
⋅ 3x
2
−x
⋅ 3 x−2 x =
=
+2 x2 + x
⋅ 36− x ⋅ 5 2+ x
2
5 4+ x + x ⋅ 3 6− x 5 2+ x + x ⋅ 3 2− x
2
2
2
− x+ x−2 x2
2
+x
2
2 2 22 = 5 4 + x + x − (2 + x + x ) ⋅ 3 6− x − (2− x ) = 5 2 ⋅ 3 4 = 2025
2. Pruebe que
(e (e
x
x
+ e −x
−x 2
) − (e
2
x
− e −x
)
2 2
+e
)
e x − e −x ⋅ 1− x −x e + e
=
2e x e 2x + 1
Solución. Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción. Así:
(e
x
+ e −x
) − (e
2
x
− e−x
)
2
= e 2 x + 2 + e−2 x − e 2 x + 2 − e −2 x = 4
También,
(e
+e
− 2
)
e x − e −x ⋅ 1− x = e x + e −x −x e + e
2
(
)
2
⋅
(e
4
x
+e
−x 2
)
= e x + e −x
(
)
2
⋅
(
2 e + e −x
x
)
= 2 e x + e −x
(
)
En consecuencia,
(e (e
x
x
+ e −x
−x 2
) − (e
2
x
− e−x
)
2 2
+e
)
e x − e −x ⋅ 1− x −x e + e
=
4 = x 2 e + e −x
(
)
2 ex + 1 ex
=
2e x e 2x + 1
3. Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación:
R = 6e kx
(1)
donde x: es la concentración de alcohol en la sangrey k una constante. a) Al suponer una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R = 10) de sufrir un accidente, ¿cuál es el valor de la constante?. b) Utilice el valor de k e indique cuál es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0.17, 0.19, ...). c) Con el mismo valor de riesgo del 100%. k indique la concentración de alcohol correspondiente a un
d)Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente no deben conducir vehículos ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado?.
Solución.
a) Una concentración de4 0.04 y un riesgo del 10%, indica que x = 0.04 y R = 10. Al sustituir estos valores en la ecuación (1) se obtiene:
10 = 6e 0.04 k 10 = e 0.04 k 6 10log e = 0.04k (Definición del logaritmo) 6 10 1 ln = 12.77 k= 0.04 6
Con el valor de k encontrado, la ecuación (1) se puede escribir en la forma:
R = 6e12.77 x
(2)
b) Al sustituir x = 0.17 en la ecuación (2), se obtiene: R = 6e12.77×0.17 = 52.6 Este resultado indica que para una concentración de alcohol de 0.17, el riesgo de sufrir un accidente es del 52.6%. c) Al sustituir R = 100 enla ecuación (2) y solucionando para x se obtiene: 100 = 6e12.77 x 100 = e12.77 x 6 100 log e = 12.77 x (Definición del logaritmo) 6 100 1 ln x= = 0.22 6 12.77 Lo que indica que para una concentración de alcohol de 0.22, el riesgo de sufrir un accidente es del 100%. d) Con R = 20 en la ecuación (2), se determina la concentración x de alcohol en la sangre: 20 = 6e12.77 x 20 = e12.77 x 6 20 1 ln x= =0.094 12.77 6 Este resultado indica que un conductor que presente una concentración de alcohol mayor o igual a 0.094 debe ser arrestado y multado. 4. Una colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento no inhibido. Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas; cuánto tiempo tardará la colonia en triplicar su número?
Solución.
Recuerde inicialmente que el número N...
x −1 5 2 2 ÷ 5 x2 3x ÷ 2 x +1 3 225 ⋅ 5 x 32 ÷ 3 x
( )
( )
( ) ( )
5 x (2 x +1) ⋅ x (1− 2 x ) 3
Solución.
x −1 5 2 2 ÷ 5 x2 3x ÷ 2 x +1 3 225 ⋅ 5 x 32 ÷ 3 x
( )
( )( ) ( )
5 x (2 x +1) 5 4 ÷ 5 x 2 3 6 ÷ 3 x 2 5 2 x 2 + x ⋅ x (1− 2 x ) = 2 2 x 2 ⋅ x 2 − x ⋅ x − 2 x 2 3 3 ⋅ 5 ⋅ 5 3 3 5 4− x ⋅ 36− x ⋅ 5 2 x 3 2 ⋅ 5 2+ x 5 4− x 3 2+ x
2 2 2 2 2 2
=
+x
2
+x
⋅ 3x
2
−x
⋅ 3 x−2 x =
=
+2 x2 + x
⋅ 36− x ⋅ 5 2+ x
2
5 4+ x + x ⋅ 3 6− x 5 2+ x + x ⋅ 3 2− x
2
2
2
− x+ x−2 x2
2
+x
2
2 2 22 = 5 4 + x + x − (2 + x + x ) ⋅ 3 6− x − (2− x ) = 5 2 ⋅ 3 4 = 2025
2. Pruebe que
(e (e
x
x
+ e −x
−x 2
) − (e
2
x
− e −x
)
2 2
+e
)
e x − e −x ⋅ 1− x −x e + e
=
2e x e 2x + 1
Solución. Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción. Así:
(e
x
+ e −x
) − (e
2
x
− e−x
)
2
= e 2 x + 2 + e−2 x − e 2 x + 2 − e −2 x = 4
También,
(e
+e
− 2
)
e x − e −x ⋅ 1− x = e x + e −x −x e + e
2
(
)
2
⋅
(e
4
x
+e
−x 2
)
= e x + e −x
(
)
2
⋅
(
2 e + e −x
x
)
= 2 e x + e −x
(
)
En consecuencia,
(e (e
x
x
+ e −x
−x 2
) − (e
2
x
− e−x
)
2 2
+e
)
e x − e −x ⋅ 1− x −x e + e
=
4 = x 2 e + e −x
(
)
2 ex + 1 ex
=
2e x e 2x + 1
3. Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación:
R = 6e kx
(1)
donde x: es la concentración de alcohol en la sangrey k una constante. a) Al suponer una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R = 10) de sufrir un accidente, ¿cuál es el valor de la constante?. b) Utilice el valor de k e indique cuál es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0.17, 0.19, ...). c) Con el mismo valor de riesgo del 100%. k indique la concentración de alcohol correspondiente a un
d)Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente no deben conducir vehículos ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado?.
Solución.
a) Una concentración de4 0.04 y un riesgo del 10%, indica que x = 0.04 y R = 10. Al sustituir estos valores en la ecuación (1) se obtiene:
10 = 6e 0.04 k 10 = e 0.04 k 6 10log e = 0.04k (Definición del logaritmo) 6 10 1 ln = 12.77 k= 0.04 6
Con el valor de k encontrado, la ecuación (1) se puede escribir en la forma:
R = 6e12.77 x
(2)
b) Al sustituir x = 0.17 en la ecuación (2), se obtiene: R = 6e12.77×0.17 = 52.6 Este resultado indica que para una concentración de alcohol de 0.17, el riesgo de sufrir un accidente es del 52.6%. c) Al sustituir R = 100 enla ecuación (2) y solucionando para x se obtiene: 100 = 6e12.77 x 100 = e12.77 x 6 100 log e = 12.77 x (Definición del logaritmo) 6 100 1 ln x= = 0.22 6 12.77 Lo que indica que para una concentración de alcohol de 0.22, el riesgo de sufrir un accidente es del 100%. d) Con R = 20 en la ecuación (2), se determina la concentración x de alcohol en la sangre: 20 = 6e12.77 x 20 = e12.77 x 6 20 1 ln x= =0.094 12.77 6 Este resultado indica que un conductor que presente una concentración de alcohol mayor o igual a 0.094 debe ser arrestado y multado. 4. Una colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento no inhibido. Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas; cuánto tiempo tardará la colonia en triplicar su número?
Solución.
Recuerde inicialmente que el número N...
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