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Ejercicios sobre

Intervalos de confianza
para la media y la varianza
La teoría sobre cómo obtener las fórmulas de los intervalos de confianza, por el método de la cantidadpivotal (hay otros), está en http://www.Casado-D.org/edu/TeoriaIntervalos.pdf Allí se utilizó, por ejemplo, la notación X1, X2,... ,Xn para una muestra aleatoria simple de la variable aleatoria X; es decir, cada Xi es una variable aleatoria con la misma distribución que X. En este documento de ejercicios se utiliza la notación x1, x2,... ,xn para denotar una muestra de números provenientes de lamuestra teórica n  1 anterior, por lo que nótese que, por ejemplo, X = ∑i=1 X i es una cantidad aleatoria (un estadístico que n 1 n x depende de la muestra) mientras que  = ∑i=1 x i es una cantidad numérica (un número). n

Ejercicio 1
La nota de una prueba de aptitud siguen una distribución normal con desviación típica 28,2. Una muestra aleatoria de nueve alumnos arroja los resultadossiguientes:
n=9

∑i=1 x i=1098

9

∑i=1 x 2=138148 i

9

a) Hallar un intervalo de confianza al 90% para la media poblacional μ b) Razonar sin hacer cálculos si la longitud de un intervalo al 95% será menor, mayor o igual que la del obtenido en el apartado anterior c) ¿Cuál será el tamaño de muestra mínimo necesario para obtener un intervalo al 90% de nivel de confianza, con longitud 10? (lalongitud del intervalo es la diferencia entre sus extremos).
Identificamos la variable
X ≡ Nota (de un alumno) X ~ N(μ, σ=28,2)

Se considera la muestra
Muestra teórica: X1, X2, ..., X9 (es decir, se van a tomar las notas de nueve alumnos) Muestra númerica: x1, x2, ..., x9
→

∑i=1 x i=1098 , ∑i=1 x 2=138148 i

9

9

Como podemos observar, no conocemos los valores xi de la muestra. Acambio nos dan información
Ejercicios de intervalos de confianza

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construida a partir de estos valores, que debe ser suficiente para hacer los cálculos. Por tanto, tendremos que escribir nuestras expresiones de forma que aparezcan

∑i=1 x i

9

y

∑i=1 x 2 i

9

a) Intervalo de confianza
Para elegir la fórmula adecuada con que calcular el intervalo de confianza, tenemos encuenta que:
• • •

El tamaño muestral, n = 9, es pequeño, por lo que en ningún caso debemos pensar en la fórmula para intervalos asintóticos Además, se sabe que la variable tiene una distribución normal, por lo que pensamos en las expresiones para poblaciones normales Finalmente, como nos informan del valor de la desviación típica poblacional, no es necesario estimarla

En resumen, concluimos quedebemos utilizar la expresión x  −z  /2     z / 2 x n n

donde z / 2 es el valor de la distribución normal estándar que verifica P Zz / 2 =/ 2 , es decir, el valor tal que deja un área igual a / 2 a su derecha (cola superior). Vamos a calcular las cantidades que aparecen en la fórmula:
➔ ➔

1 9 1 ∑i=1 x i= 9 1098=122 9 Como se pide utilizar un nivel de confianza del 90%,hacemos α = (100-90)/100 = 0,1. El cuantil z / 2=z 0,05 lo buscamos en la tabla de la distribución normal estándar. Como la tabla nos informa de probabilidades de sucesos de la forma P Z≤z p , el valor que deja una probabilidad 0,05 por encima de él es el que deja una probabilidad 0,95 por debajo de él, así que en la tabla en realidad buscamos el valor z p=z 1−/ 2=z 1−0,05=z 0,95 , x =Ejercicios de intervalos de confianza

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Así, el valor buscado es z / 2=1,65 .
➔ ➔

Por el enunciado sabemos que =28,2 Por último, n = 9 28,2 28,2 1221,65 9 9

Finalmente, el intervalo buscado es 122−1,65 es decir

106,5137,5

b) Longitud del intervalo de confianza
Para responder a la pregunta se puede razonar diciendo que, fijos todos los parámetros menos la longitud del...