Ejercicios Integraci N De Funciones

Capítulo 5

Integración
Ejercicio propuesto 5.1 Calcular una primitiva de las funciones:
ex ,

1 2
1
1
.
, x , cos(x), √ ,
x
x 1 + x2

Ejercicio propuesto 5.2 Calcular las siguientes primitivas:
3x2
dx
cos2 (x3 )
2

2xex dx
− sin(x)
dx
1 + cos2 (x)
Ejercicio propuesto 5.3 Calcular las primitivas de las siguientes funciones usando integración por partes:
xe−2x dx
x cos(x)dx
x ln(x)dx
x2 cos(x)dxx2 ex dx
ex cos(x)dx
Ejercicio propuesto 5.4 Calcular las primitivas de las siguientes funciones usando el método de cambio de
variable.
x

1 − x2 dx

x2 (1 + 2x3)3 dx

35

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CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN

36

√

e x
√ dx
x
x
√
dx
1 − x4
Ejercicio propuesto 5.5 Descomponer en fracciones simples el cociente:
1
(x − 2)(x − 1)2(x2 + 1)(x2 + 4)2

.

Ejercicio propuesto 5.6Calcular las primitivas de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

x−8
dx
x2 − x − 2

x4 − 7x3 + 17x2 − 22x + 14
dx
x3 − 7x2 + 14x − 8
4x − 2
dx
2
5x − 20x + 65
x3 + x2 + x + 1
dx
(x − 1)5

x3 + 2x2 − 4x + 13
dx
x4 − 4x3 + 13x2

Ejercicio propuesto 5.7 Calcular las primitivas de las funciones racionales de los Problemas 5.8-5.11.
Ejercicio propuesto 5.8 Calcular las siguientes primitivas,siguiendo las indicaciones que se acompañan:

(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
(j)
(l)
(n)
(p)

1
dx cambio x = tan(u)
(b)
(1 + x2 )2
√
√
3
x + x2
√
cambio x = t 6
(d)
x
x3 + 2x + 1
dx
(f)
x2 − 5x + 6
x
dx
(h)
(x2 + x + 1)(x + 1)
√
x2 + 4
dx cambio x = 2 tan(u), x2 + 4 = u2 ,
x
√
ln(x)
√ dx cambio u = x o partes
(k)
x
tan(x)dx
3x − 2

x2 − 4x + 5

dx

√
ln(1 − x)dx

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cambio u =√
x o partes

a2 + b2 x2 dx

cambio bx = a tan(t)

int. partes

arctan(x)dx

1
dx
(x − 1)2 (x + 1)
1
dx cambio x = 2 arctan(t)
3 + cos(x)
u=

x2 + 4 − x
int. partes

sin(ln(x))dx

(m)

cos(x)
dx
1 + sin2 (x)

(o)

earcsin(x) dx

(q)

x cos2 (x)dx

int. partes
int. partes

37

Ejercicio propuesto 5.9 Dada una curva en el plano definida mediante la ecuación y = f (x), la longitud de
esta curvadesde x = a hasta x = b viene dada por

b

1 + ( f ′ (x))2 dx.

L=
a

(i) Demostrar la fórmula anterior.
(ii) Demostrar que la longitud de la circunferencia de radio r es 2π r

Indicación: calcular la longitud de la circunferencia en el primer cuadrante y multiplicar por 4.
Ejercicio propuesto 5.10 Considérese una placa bidimensional de densidad constante delimitada por las curvas y1 = g(x), y2 = f(x) y las rectas x = a y x = b donde a < b y f (x) > g(x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces, el
centro de masa de la placa se calcula según:

b

x¯ =

a

x( f (x) − g(x))dx
b

a

( f (x) − g(x))dx
b

1
y¯ =
2

a

( f (x)2 − g(x)2 )dx
b

a

( f (x) − g(x))dx

√
(i) Hallar el centro de masa de la región limitada por la parábola y = x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 4.
(ii) Hallar el centro de masade la región limitada por la curvas y = x2 , la recta y = x + 2 y las rectas x = −1 y
x = 2.
(iii) Hallar el centro de masa del semicírculo de radio a situado en el primer y tercer cuadrantes.
Ejercicio propuesto 5.11 Demostrar que el área de un sector circular de radio a y ángulo central α ∈ (0, π /2)
1
es A = a2 α .
2
Ejercicio propuesto 5.12 Clasificar las integrales
+∞
0
+∞
−∞

dx
ln(1 + x)(x −2)3
x3 dx
ex (x8 + x4 + 1)

1

x cos x − sin x
dx
x3
+∞
xdx
x2 + x + 1
0
0

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CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN

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Ejercicio propuesto 5.13 Estudiar la convergencia de la integral
+∞

arctan(x)dx.
−∞

Ejercicio propuesto 5.14 Estudiar la convergencia de la integral
+∞
−∞

e−|x| sin(x)dx.

Ejercicio propuesto 5.15 Calcular la integral
+∞
−∞

1
dx
x2 + 2x + 5

en caso deque sea convergente.
Ejercicio propuesto 5.16 Calcular la integral
+∞

x sin xdx
0

en caso de que sea convergente.
∞

Ejercicio propuesto 5.17 Se define la función Gamma por Γ(p) =

x p e−x dx. Demostrar que dicha función

0

está definida para todo p > −1 y que se verifica que Γ(p + 1) = pΓ(p).

Problema 5.1 Calcular las siguientes integrales definidas aplicando el método de integración por...