Ejercicios integracion

1. Hallar la suma superior y la suma inferior de f (x) = x2 sobre [−6, 6] tomando las siguientes particiones: a) Una partici´n regular de longitud 2 o b) Tomando la partici´n P1 = {-6, -4. -3, -1, -0.5, 0.5, 2, 3, 5, 6 } o c) Con la partici´n P2 = {-6, -4. -3, -2, -1, -0.5, 0, 0.5, 2, 3, 4, 5, 6 } o

2. Suponiendo que las siguientes funciones son integrables. Hallar un valor aproximado de: 1 dxUsando una partici´n regular de longitud 1 y despu´s con la partici´n P = {0, 0.5, o e o 1 + x2 1 1, 1.5, 2, 3, 3.5, 4, 5 }
π 2

5

a)

b)
0

1 + cos2 xdx con una partici´n regular de longitud 15◦ o

3. Sea f (x) = 1 − x2 definida en el intervalo [−2, 3], sea P la partici´n uniforme del intervalo [−2, 3] en o cinco subintervalos iguales, y sea A la elecci´n de puntos de lossubintervalos que en cada uno de ellos o escoge el punto medio. Encuentre la suma de Riemann resultante. 4. Repita el ejercicio anterior para el caso en que f se eval´a en el extremo derecho de cada subintervalo. u 5. Repita el ejercicio anterior para el caso en que f se eval´a en el extremo izquierdo de cada subintervalo. u 6. Considere la regi´n R del primer cuadrante comprendida bajo la gr´fica de lafunci´n f (x) = 4x − x2 y o a o entre las rectas x − 1 = 0 y x = 4. a) Aproxime el valor del ´rea de R mediante una suma inferior y una superior considerando la partici´n a o 7 3 P1 = 1, 2 , 2, 3, 2 , 4 .
3 5 7 b) Repita el calculo anterior considerando la nueva partici´n P2 = 1, 2 , 2, 2 , 3, 2 , 15 , 4 . o 4

d) Calcule el ´rea de R mediante el l´ a ımite de una suma de Riemann. 7. Mediante ladefinici´n, calcule las siguientes integrales: o
5

c) Calcule s (f, P2 ) − s (f, P1 ) y S (f, P1 ) − S (f, P2 ) ¿Qu´ significa? e

a)
2 2

x2 dx x3 dx √ xdx

b

b)
a 3

(2x + 1)dx 1 x dx 1 x3 + x + 2dx

c)
−1 1

d)
− 2

e)
0

f)
−

1

8. Calcule los siguientes l´ ımites considerando una integral definida adecuada. a) l´ ım
n→∞

1 2 n + + ... + 2 . 1 + n2 22 + n2 n + n2n

b) l´ ım c) l´ ım

n→∞

k=1

1 k+n e n . n
n

π2 kπ k sen . 2 n→∞ n n k=1 √ √ √ √ n + 1 + n + 2 + n + 3 + ··· + n + n √ d) l´ ım . n→∞ n n
n

e) l´ ım f ) l´ ım

n→∞

i=1

n(i − 3n) . (i + n)3

n→∞

2 n−1 1 + 2 + ··· + . 2 n n n2

9. La regi´n R est´ acotada por las rectas y = 4x, x = −2, x = 1. Determine el ´rea de la regi´n usando o a a o el l´ ımite de una suma deRiemann. 10. Calcule las siguientes antiderivadas: x5 dx (x + x)dx √ 3 x x (√ − )dx 4 x x2 √ dx x 4 1 ( 2 + √ + 2)dx x x x 1 √ dx 4 x 1 (x2 + √ )2 dx 3 x ln x dx x sen 2x cos 2x dx ex dx 1 + ex 11. Si y es una funci´n tal que o y(4). √ cos (ln x ) dx x t2 (1 + 2t3 )−2/3 dt z+1 dz 2 + 2z + 2 z √ sen x √ dx x dx √ e-2x -1 √ 1 + cos 2xdx √ 3 sen x + cos x ( sen x − cos x )1/3 x dx cos2 (x2 ) dx 3x2 +5 e
−x

cos5 x √ dx sen x sen x cos4 xdx √ cos3 x dx 4 − 4cos2 x

(sen x + cos x)2 dx csc2 x 3x ctg dx 2 2 dx √ 4 + 4 + 5x ex − e−x dx ex + e−x dx 1 + cos x x3 dx x2 + 1 ln2 x + 1 x ln3 x + 3 ln x dx

dx

sen (e

3

−x

) cos (e

2

−x

)dx

dy = 8x − 4 y y(2) = 5, Encuentre la funci´n y, y calcule el valor de o dx

12. Determine la curva cuya pendiente en el punto (x, y)es 3x2 , si adem´s se requiere que la curva pase por a el punto (1, −1). 2

13. Hallar la ecuaci´n de la curva cuya pendiente en cualquier punto de ella es igual al cuadrado de la abscisa o de tal punto, sabiendo que pasa por el punto (2,1) 14. Hallar la ecuaci´n de la curva que pasa por el origen, y cuya pendiente en cualquier punto es tres veces o la distancia de tal punto a la recta x = 215. El punto (3, 2) est´ ubicado en una curva, y en cualquier punto (x, y) en la curva la tangente tiene una a pendiente igual a 2x − 3. Formule una ecuaci´n de la curva. o √ 16. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de una curva es 3 x . Si el punto (9,4) est´ en la curva, obtenga una ecuaci´n de dicha curva. a o 17. La pendiente de la tangente en cualquier punto (x, y)...