ejercicios Integrales Triples

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 3

UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: CALCULO MULTIVARIABLE.
INTEGRALES TRIPLES.

COMPETENCIA
Aplicar
los
conceptos
y
propiedades de derivación a
funciones de varias variables, en
la solución de problemas del
campo de ingeniería o contexto
profesional.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE
 Resuelve lasintegrales múltiples mediante cambio de coordenadas.
 Resuelve problemas relacionados con momentos de inercia, masa y
centro de masa, utilizando la integración múltiple
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJERealizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos
desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente.ACTIVIDAD 1: Evaluar la integral iterada que se indica:
4

2

1

𝑎. ∫ ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
2

−2 −1

1

1−𝑥

𝑑. ∫ ∫
0

∫

0
4

1

√𝑦

2 3

4𝑥 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

1
2

𝑥2

0

1
√𝑥 2 − 𝑦 2

0

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑥

𝑥𝑦

1

𝜋
2

624𝑥𝑦𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

0

0

0

𝑥
∫ cos ( ) 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦
0

1

1

2−𝑥 2 −𝑦 2

0

0

𝑓. ∫

𝑥𝑦𝑒 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

0

𝑖. ∫
0

𝑒𝑥

∫ ∫
0

𝜋
4

2

𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

0
cos 𝜑

∫ ∫
0

𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥

0

2

0
2𝜋

𝑧

√2

6−𝑥−𝑧

∫

0

𝑦

ℎ. ∫ ∫ ∫

6−𝑥𝑐. ∫ ∫

2

𝑦2

𝑒. ∫ ∫

0

𝑔. ∫ ∫ ∫
0

3

𝑏. ∫ ∫ ∫

𝑟 2 sin 𝜑 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃

0

ACTIVIDAD 2: En cada uno de los casos cambie el orden de integración indicado en cada uno de los otros cinco
órdenes.
4

2

1

𝑎. ∫∫ ∫ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
2

3

𝑥

𝑥𝑦

𝑏. ∫ ∫ ∫ 24𝑥𝑦𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

−2 −1

1

1

2

ACTIVIDAD 3: Evalúe las siguientes integrales, en la región V del espacio indicado.
.

𝑎. ∭
𝑉

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1)3
𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.

.

𝑏. ∭ √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑠: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑉

𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 =1.

𝑎 2
𝑎2
𝑐. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜𝑚𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑌, 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑥 2 + (𝑦 − ) =
2
4
𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑎2 .

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

II - 2014

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