ejercicios integrales

Integrales Indefinidas
Concepto de Integral (como una antiderivada)
Sea la función C œ FaBb
La pregunta:

y su derivada

F'aBb œ 0 aBb

¿ Qué función C œ FaaBb origina la derivada 0 aBb œ #B  $ ?

Da como respuesta una familia de funciones FaBb, como
FaaBb œ B#  $B

FaBb œ B#  $B € 7

FaaBb œ B#  $B  &
FaBb œ B#  $B €

"
#

etc

ya que al derivar cualesquiera deellas se obtiene 0 aBb
por lo cual se puede establecer en términos generales que:
FaBb œ B#  $B € C
donde C es una constante.
En cnsecuencia:

0 aBb œ F' aBb

FaBb recibe el nombre de antiderivada de 0 aBbÞ

El símbolo matemático que a su vez permite generalizar la pregunta anterior es
'
" " llamado Integral de 0 aBb lo que lleva al lenguaje:
' 0 aBb .B œ ' a#B  $b .B œ B#  $B € Cœ FaBb

expresión que se obtiene de la ecuación diferencial:
.C
.B

œ 0 aBb

Por lo tanto:

o sea:

.C œ 0 aBb .B

luego:

.C œ a#B  $b .B

C œ ' a#B  $b .B

1

Este concepto de Integral como antiderivada permite, considerando la variable Bß
obtener reglas básicas o directas de integración como las siguientes:
Integral de cero:

' ! .B œ C

Integral de " À

' " .B œB € C

Integral de 5 (cte):

' 5 .B œ 5 B € C

Integral de una potencia de B À ' B8 .B œ

B8€"
8€"

apuede anotarse sólo como ' .Bb

apuede anotarse sólo como 5 ' .Bb

€C

' 0 aBb „ 1aBb ‘.B œ ' 0 aBb .B „ ' 1 aBb .B

Integral de una suma:

Ejercicios: Integrar en forma directa usando las reglas básicas
1.-

' Ð$B#  #B € &Ñ .B

2.-

' " B$ .B

3.-

.B
'È

4.-' ˆ "# 
B

5.-

€B
' B B
.B
È

6.-

'

B

$

#

B

#

" ‰
.B
B$

ˆB$ €B# ‰#
B

.B

7.-

' È#B .B

8.-

' ŠBÈB 

9.-

' ˆBÈB  "‰# .B

10.-

'

B
È B ‹ .B

$ B€È B
% BÈ
È
B

.B

Soluciones:
1.-

B$  B# € &B € C

2.-

" %
B
)

3.-

#È B € C

4.-



6.-

" '
B
'

8.-

# #È
B B  #$ BÈB €
&

5.-

#B$ ÈB
(

7.-

#È
#B$
$

9.-

" %
B
%



#B# ÈB
&

€

#BÈB
$

€C

€C

 %& B# ÈB € B € C

"!.-

"
B

€C
€

"
#B#

€C

€ #& B& € "% B% € C
C

$
%
%È
B  $È
B € #È B € C

2

Profesor: S.Pizarro R.
Uso de variable auxiliar o cambio de variable
Si al integrar una potencia en que la
base es una función de Bß la integración directa usando lasreglas básicas a veces no es
posible como lo muestra el siguiente ejemplo:
al integrar

' ˆB# € $‰# .B

la solución no es FaBb œ

aB# €$b
3

3

+C

como lo indica la regla básica, pues al derivar FaBb aparece un factor #B que no está en
la integral.
#
#
o sea. F'aBb œ ˆB# € $‰ · #B
que es distinto a ˆB# € $‰ que está en la
integral.
Esto implica que al integrar una potencia dondela base es una función de Bß se
hace necesario el cambio de variable para transformar la expresión en una integral de la
forma ' ?8 .? , donde ? œ 0 aBb y .? œ 0 'aBb .BÞ
Esto significa además que 0 aBb debe ir acompañada de su derivada.

Luego, si ? œ 0 aBb es una función diferenciable, y 8 Á -1, entonces:
' ?8 .? œ

Ejemplo:

?8€"
8€"

€C

' 'ˆ#B$ € & ‰$ B# .B
si

entonces:? œ #B$ € &
.?
.B

œ 'B#

.? œ 'B# .B
luego reemplazando en la integral
se tiene:
' ˆ#B$ € & ‰$ 'B# .B œ ' ?$ .?
œ ' ?$ .?
œ

?%
%

€C

' ˆ#B$ € & ‰$ 'B# .B œ " ˆ#B$ € & ‰% € C
%

3

Ejercicios: Integrar usando cambio de variable
1.-

' ˆ#B#  $‰& B .B

3.-

' È &B € # .B

5.-

' BÈ B#  $ .B

6.-

' 3ˆB$  "‰ $ B# .B

7.-

' #a(B  %bˆ(B#  )B‰$ .B8.-

'

9.-

'

10.-

'

2.-

"
#%a&%B$ b#

%.-



6.-

$ˆ $
B
%

8.-



10.-

#Ê 68ŠB € È " € B# ‹ € C

$
É
$% 68 a&Bb‘#

$B

2.4.-

'

'

"
a&%B$ b$

B# .B

$B .B
a#B# €"b&
"

.B

*B# )B€"
Ð'B$ )B# €#B"Ñ#

.B

.B

È"€B# ’68 ŠB€È"€B# ‹“ #
1

Soluciones
1.-

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3.-

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5.-

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