Ejercicios John Lee

Ejercicios John Lee, Página 19
1.1 Comparar los valores de Ei(-x) y ln⁡(1,781x) para los siguientes valores de x: 0.01, 0.02, 0.1 y 1.
Los resultados se presentan en la Tabla 1.

x | Valor de -Ei(-x) | %Error |
| Real | ln⁡(1,781x) | |
0,01 | 4,0379296 | 4,02799518 | 0,246027 |
0,02 | 3,3547078 | 3,334848 | 0,591998 |
0,1 | 1,822924 | 1,72541009 | 5,349311 |
1 | 0,2193839| 0,577175 | 163,089 |

Tabla 1. Valores reales de la función exponencial Ei vs. Valores calculados con la aproximación logarítmica ln(1,781x)

* Qué puede concluir acerca de la aproximación logarítmica?
Acerca de la función logarítmica se puede concluir a medida que el valor de x aumenta, la aproximación va perdiendo eficacia (el porcentaje de error va creciendo progresivamente).
*Acerca de su rango de aplicabilidad?
Acerca del rango de aplicabilidad, de acuerdo a los resultados obtenidos, la aproximación logarítmica Ei-x=ln(1,781x) puede usarse para valores de x relativamente bajos (según la Tabla 1 para valores de x≤0,02 el error es menor al 1%). Sin embargo, para que el
%Error sea lo mínimo posible, es estrictamente recomendable usarla para valores de x≤0,0025.1.2 Un pozo ha fluido por 10 días con una rata de 350 STB/D
Propiedades de la roca y el fluido:
β=1,13 RB/STB
Pi=3000 psia
μ=0,5cp
k=25md (Uniforme en todo el yacimiento, S=0)
h=50ft
Ct=2*10-5psi-1
∅=0,16
rw=0,333 ft

* Calcular las presiones para radios de 0,333, 1, 10, 100, 100 y 3160ft

Primero debe verificarse si la función Ei da resultados aproximados para las condicionesespecíficas del yacimiento. Puede utilizarse Ei si se satisface la siguiente condición:

3,79*10-5∅μCtrw2k<t<948∅μCtre2k

Dónde:
t=240 días*24hrs1 día=240 hrs
Reemplazando se tiene:

3,79*10-5∅μCtrw2k=3,79*10-50,160,52*10-50,333225=2,689*10-3hrs

948∅μCtre2k=948(0,16)(0,5)2*10-5re225=6,0672*10-5 (re2) hrs

Para que la función Ei tenga aplicabilidad a un tiempo t=240 hrs debecumplirse como mínimo que:

948∅μCt*remin2k=240
6,0672*10-5* remin2=240

Despejando el (re)min se tiene:
(re)min=2406,0672*10-5

(re)min=1989 ft

Ahora, para cada uno de los radios:

P=Pi+70,6qβμkhEi-948∅μCtr2kt

Se reemplazan todos los valores conocidos, de tal manera que se tenga al final P=f(r)

P=3000+70,6(350)(1,13)(0,5)(25)(50)Ei-948(0,16)(0,5)2*10-5r2(25)(240)P=3000+11,17*Ei(-2,528*10-7*r2)

Desarrollando para cada radio r:

* Para r=0,333ft
P=3000+11,17*Ei(2,528*10-7*0,3332
P=3000+11,17*Ei2,8033*10-8

Como: 2,8033*10-8<0,0025
Entonces: Ei2,8033*10-8=ln⁡(1,781*2,8033*10-8)
Ei2,8033*10-8=-16,81

P=3000+11,17(-16,81)
P=2812psia

El proceso se repite para cada uno de los radios, y los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 2.
r(ft) | x |Ei(-x) | P(psia) |
0,333 | 2,803E-08 | -16,812677 | 2812,202 |
1 | 2,528E-07 | -14,613452 | 2836,768 |
10 | 2,528E-05 | -10,008307 | 2888,207 |
100 | 0,002528 | -5,4056375 | 2939,619 |
1000 | 0,2528 | -1,0356207 | 2988,432 |
3160 | 2,5243597 | -0,0241285 | 2999,73 |

Tabla 2. Valores de Presión calculados para distintos radios (r)

Figura 1. Gráfica P vs. Log(r)

* Qué valormínimo de radio de drenaje asumió para este cálculo?

Para realizar los respectivos procedimientos por medio de la función exponencial Ei debió asumirse un radio de drenaje mínimo de 1989 ft.

1.3 Para el pozo descrito en el Ejercicio 1.2, graficar presión en el pozo vs. Logaritmo del tiempo, para t: 0.1, 1 y 10 días

Ya se sabe del Ejercicio 1.2 que la función exponencial Ei funciona, esdecir que puede considerarse al yacimiento como infinito (con un radio de drenaje mínimo considerado de 1989 ft) para 2,689*10-3<t<240; lo que significa que los resultados son buenos para tiempos de 0.1, 1 y 10 días.

Con rw=0,333ft la ecuación se expresa como P=f(t)

P=3000+70,6(350)(1,13)(0,5)(20)(25)Ei-948(0,16)(0,5)(2*10-5)(19892)25t

P=3000+(11,17)Ei240t

* Para t=0,1 día...