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Macroeconomía Avanzada I. Ejercicios. Tema 1
La modelización de las Expectativas: Introducción a las Expectativas
Racionales

Ejercicios
Ejercicio 1. Si, tal y como hacíamos en el ejemplo de Muth, suponemos que el nivel de precios
esperado en un período será igual al observado en el período anterior: Pte = Pt−1 , ¿cuál será la nueva
solución del modelo de Cagan bajo expectativasadaptativas?
Ejercicio 2. Obtenga E[yt+1 /It ] mediante expectativas racionales en los siguientes casos:

yt+1 = α + βxt−1 + xt + et

(a) It = {xi , ei }t−1
i=0


α, β

yt+1 = α + βxt + et


{x , e }t
i i i=0
(c) It =

et ∼ N (0, 1)


α, β


yt+1 = α + βxt−1 + xt + et

(b) It = {xi , ei }t−2
i=0


α

yt+1 = α + βxt + et


x = z
t
t−1 + γzt
(d) It=
t−1

{xi , ei }i=0


α, β, γ

Ejercicio 3. A partir del modelo de Cagan con expectativas racionales analice cómo afectará al desarrollo y conclusiones del modelo la inclusión, en la ecuación de precios, de una perturbación aleatoria
ǫt ∼ U (0, 2¯ ):
π
Pt =

Mt
b e
+ Pt+1 + ǫt
a
a

Ejercicio 4. Supóngase que la variable dinámica y queda descrita por la siguiente ecuación:yt = a + bEt−1 yt + ut ,
2
siendo ut = cut−1 + ǫt , |c| < 1, |b| < 1 y ǫ ∼ N (0, σe ).
Resuelva el modelo de expectativas para la variable y.

Soluciones
1 Recordemos que el modelo de Cagan parte de la ecuación:
Pt =

b e
Mt
+ Pt+1 .
a
a

(1.1)

e
Supuesto el modelo de expectativas Pte = Pt−1 , podemos escribir Pt+1 = Pt , por lo que
sustituyendo en (1.1) tenemos:
Mt
b
Pt =+ Pt ,
(1.2)
a
a

Macroeconomía Avanzada I. Ejercicios. Tema 1. Expectativas

2

pasando Pt al primer término la ecuación queda:
Pt 1 −

b
a

=

Mt
a−b
Mt
Mt
Mt
⇔ Pt
=
⇔ Pt =
=
,
a
a
a
a−b
c

(1.3)

que es la solución del modelo para este caso particular (recordar que a = b + c).
2

(a) Conocemos los valores de las variables x y e hasta el período t − 1, asícomo los
parámetros, pero no su valor ni su distribución, luego:
E[yt+1 /It ] = E[α/It ]+E[βxt−1 /It ]+E[xt /It ]+E[et /It ] = α+βxt−1 +E[xt /It ]+E[et /It ].
(1.4)
(b) En este caso tenemos aún menos información que en el anterior, ya que recibimos la
información con dos períodos de retraso, y además no conocemos el valor del parámetro β, por lo que:
E[yt+1 /It ] = E[α/It ] + E[βxt−1 /It ]+ E[xt /It ] + E[et /It ] =
= α + E[βxt−1 /It ] + E[xt /It ] + E[et /It ], (1.5)
téngase en cuenta que como ni siquiera sabemos si β y x están relacionados o son
variables independientes no podemos escribir E[βxt−1 /It ] como un producto de esperanzas.
(c) Estamos en el caso contrario del apartado anterior, ya que tenemos información de las
variables x y e hasta el período t. Como en tconocemos el valor de et , su esperanza
no es 0 sino et (la realización de la variable aleatoria en ese período):
E[yt+1 /It ] = E[α/It ] + E[βxt /It ] + E[et /It ] = α + βxt + et .

(1.6)

En este caso, como todo es conocido, un agente racional no cometería ningún error:
E[yt+1 /It ] = yt+1 .
(d) La diferencia con el apartado (a) es que conocemos de que depende la variable x, de
una nuevavariable z desconocida, luego:
E[yt+1 /It ] = E[α/It ] + E[βxt /It ] + E[et /It ] = α + β(E[zt−1 /It ] + γE[zt/It ]) + E[et /It ].
(1.7)
3 Bajo expectativas racionales la ecuación a resolver es:
Pt =

Mt
b
+ Et Pt+1 + ǫt .
a
a

(1.8)

Para resolver el problema necesitamos obtener el valor de Et Pt+1 . Seguimos la mecánica general para resolverlo: reescribimos la ecuación para el períodosiguiente y tomamos expectativas; si, como parece previsible, aparece un nuevo término de expectativa pero desplazado
un período, tendríamos que resolver el problema de forma recursiva, es decir, realizar sustituciones sucesivas hasta encontrar la regla general. Empezamos por escribir la ecuación
general desplazada en un período:
Pt+1 =

b
Mt+1
+ Et+1 Pt+2 + ǫt+1 .
a
a

(1.9)...