EJERCICIOS MATEMÁTICAS I TEMA 1

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I PARA LA EMPRESA.

TEMA 1: ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA LINEAL

CONJUNTOS
1.-Aplicando las propiedades de conjuntos comprobar que:
a).- X ∪ X c ∩ Y = X ∪ Y
b).- X ∩ X c ∪ Y ∪ Y ∩ Y ∪ Z ∪ Y = Y
2.- Calcular el valor de la expresión X ∩ X ∪ Y ∩ X c ∪ Y c  c
3.- El diagrama de Ven para tresconjuntos X, Y ,Z queda dividido en 8 zonas.
Encontrar para cadazona, lacombinación X,Y,Z que la representa.
4.- La oferta de un producto está cubierta por cuatro marcas A,B,C y D. Se sabe que el
15% consume la marca A, el 18% la B y el 13% la D. El 13%consume la A pero no la
C, el 3% la A y la B, el 8% la By C , el 4% la Cy D y el 1% la A,B y C. El número de
consumidores de C es 5 veces el de los que consumen sólo B y que ningún consumidor
de A o B consume D.Calcular que tanto por ciento no consume ninguna marca.

RELACIONES BINARIAS
1.- En el conjunto A ={1,2,3,4,5} se define la relación binaria R mediante su grafo
G= {(1,1), (2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(3,5),(4,4)(5,3),(5,5)]. Se pide :
a).- Dibujar su diagrama cartesiano.
b).- Probar que la relación R es de equivalencia.

APLICACIONES
1.- Dadas la aplicaciones f : A → B y g: B → C demostrar que:
a).-Si g∙f es sobreyectiva g es sobreyectiva.
b).- Si f y g son inyectivas g∙f es inyectiva.
c).- Si f y g son biyectivas g∙f es inyectiva.
2.- Se consideran las funciones f = 1, 3, 2, 53, 3, 4, 1, 5, 2} y
g = 1, 4, 2, 13, 1, 4, 2, 5, 3en el conjunto A ={1, 2, 3, 4, 5}.
Se pide:
a).- Determinar los recorridos de f y g.
b).- Encontrar las funciones compuestas g∙f y f∙g.
3.- Dadaslas funciones fx = x 2 − x y gx = x + 5. Calcular:
1
a).-fg2, fx + 1, g x−1
.
b).- Ecuaciones de g∙f, f∙g, f∙f.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1.- Si en el conjunto Q ∗, se define la ley a⊥b=2ab. Probar que Q ∗, ⊥es grupo
abeliano
1

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2.- Determinar que estructura tienen los conjuntos dados a continuación con la ley que
se indica
a).- Z, ⊥con a⊥b= a+b+c
b).- Z, ⊥con a⊥b= a 2 b
3.-Sobre el conjunto de los números enteros Z, se define la ley de composición
a ⊥ b = a + b − 1. ¿Es un grupo abeliano?
MATRICES
1.- Dadas las matrices
1 0

1 2 3

A=

B=

2 3 4

C=

1 1

1

3 −1
2

0

2

0

D=

2

1 −3 4

1 2
0 0
t
t
t T
Calcular, si es posible: C + E, AB, BA, A , AB , B A y AB + CE
1
2.- Obtener la matriz inversa de A =

0

+

1 x

1

02

0

0

1

1 −1 3

1

3.- Obtener los valores de x, y, z, tque verifican:
2

E=

1

1 −3 4
0

y 2

0

1 x

1 2

y 0

1 3

−

−1

1 0
1 1

=

x y
z t

4.-Las matrices A y B satisfacen las siguientes relaciones:
2 0 2
A+B =

2 2 0

0 0 2
A−B =

0 2 2

0 2 4

Determinar A 2 − B 2

2 4 6

5.- Dada la matriz que si dos matrices cuadradas M y N son simetricas, entonces la
matriz producto M. N essimétrica si y sòlo si ambas conmuntan.
2

6.- Sea A =

2

3 −1

Hallar gA siendo gx = x 2 − x − 1

7.- Hallar la inversa de la matriz A =

3 5
2 3

aplicando las propiedades de la

matriz inversa
8.- Sea A=

1

0

0 −1

Demostrar queA + A −1  2n+1 = 2A 2n+1

2

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9.- Sean A y B dos matrices inversibles, en función de la matriz M −1 inversa de
M =AxB, que se suponen conocidas , determinar A −1 y B −1
DETERMINANTES
1.- Calcular que valor debe tomar x para que el siguiente determinante
1 2 3
D = −1 −4 5 sea nulo
x

−1 1

2.- Calcular el rango de la matriz
2 2 1
A=
0 5 4
3 1 0
1 3 0 1
3.- Resolver el determinante D =

2 0 5 3
1 6 0 1
1 3 2 0

a1 a2 a3
4.- Del determinante

b1 b2 b3

se sabe que su valor es cero

c1 c2 c3
a1 a2

≠0
b1 b2Demostrar que la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras.

y que el menor

a b b b
5.- Demostrar que

a b a a
b b a b

= −a − b 4

a a a b
a1 a2 a3 a4
6.- Por transposiciones de columnas, transformar el determinante

b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 d3 d4

en otro que tenga las diagonales cambiadas.
Indicar el valor del nuevo determinante.

3

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