Ejercicios matematica iii

EJERCICIOS MATEMATICA III
CONTENIDO
1. Ejercicio 1 3
2. Ejercicio 2 3
3. Ejercicio 3 3
4. Ejercicio 4 4
5. Ejercicio 5 4
6. Ejercicio 6 5
7. Ejercicio 7 5
8. Ejercicio 8 6
9. Ejercicio 9 7
10. Ejercicio 10 8
11. Ejercicio 11 9
12. Ejercicio 12 9
13. Ejercicio 13 9
14. Ejercicio 14 10
15. Ejercicio 15 10

1. Ejercicio 1
Encuentre una fórmula parael término general de la sucesión

35 , -452 , 553 , -654 , 755 ,…….
an = (-1)n+1 (n+2)5n , η∈Ν
2. Ejercicio 2
Calcule el ; si reemplazamos directamente obtenemos una indeterminación ∞/∞

Aplicando Hospital: derivamos numerador y denominador
limx→∞lnxx =limx→∞1x11 = limx→∞1x = 0
limx→∞lnxx = 0
3. Ejercicio 3
Determine si la sucesión es convergente odivergente.
Supongamos que an es convergente tenemos:
Para n par an (-1)n = an limn→∞an=a
Para n impar an (-1)n = -an limn→∞-an=-a
Por lo cual an (-1)n no es convergente

4. Ejercicio 4
Determine si la serie armónica Es divergente o convergente
Usando el criterio de la integral
fx=1x es positiva, continua y decreciente para x≥1
fn=1n para losenteros positivos n
1+∞1xdx=limb→∞1b1xdx=limb→∞lnx1b=limb→∞lnb-ln1=+∞
Como la integral impropia diverge, la serie armónica tambien diverge
5. Ejercicio 5
Determine la convergencia de la serie

Usando el criterio de la razón:

limn→∞ an+1 an = limn→∞35n+1+2n+135n+2n = limn→∞3n+1+25n+1/ 5n+1n+13n+25n / 5n . n
= limn→∞ n. 5n3n+1+25n+1n+15n+13n+2.5n= limn→∞ n+1-1 5n3n+3+2.5n.5n+1. 5n.5 3n+2.5n
= limn→∞ 1-1n+1. 15. 3n+3+2.5n.53n+2.5n
= limn→∞ 153m+2.5n+3+2.5n.5-2.5n3n+2.5n
= limn→∞ 15. 1+3+43n+4.2.5n-43n3n+2.5n= lim. n→∞ 15 .1+3+4.2.5n3n+2.5n
= limn→∞ 15.1+3+43n+4.2.5n- 4 3n3n+2.5n= limn→∞ 155+3-4(3n)3n+2.5n=1
La serie es divergente

6. Ejercicio 6
Mediante la prueba de la integral determine si la serie es convergente o divergente

1∞x+2x+1 dx=1∞1+1x+1 dx
limt→∞ 1t1+1x+1 dx = limt→∞ x+Ln.(x+1)t1 = limt→∞ t+Ln(X+1)-1-Ln(2) = ∞
La integral es divergente, por lo que la serie diverge

7. Ejercicio 7Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie
, aplicamos criterio de la razón
limn→∞ n+1 x+2n+13n+1+1nx+2n3n+1 = limn→∞ 3n+1 n+1x+2n+13n+1+1 nx+2n -1<x+23 <1
= limn→∞ 13 1+1nx+2 -3 < x+2 < 3= limn→∞ 13x+2 1+1n<1 -5 < x < 1
= x+23<1 Intervalo de convergencia
Radio de convergencia=3
La serie es absolutamente convergente por el criterio de la razón.
8. Ejercicio 8
Si k es un entero positivo, encuentre el radio de convergencia de la seriek>0 , k∈z+ aplicamos criterio de la razón
n=0∞n!kkn! xn limn→∞ n+1!kkn+1!n!kkn!xn = limn→∞n+1!kkn!xn+1kn+1!n!k xn
= limn→∞ xn+1k n!kkn!n!kkn+k! = limn→∞xn+1kkn!kn+k… kn+1nk
= limn→∞ x1+1nkk+kn…k+1n = limn→∞xkk<1
La serie es absolutamente convergente por el criterio de la razón.

x < kk-kk < x < kk , k > 0
-kk<x<kk

9. Ejercicio 9
Expresa la siguiente función. como la suma de una serie de potencia y encuentre el intervalo de convergencia.

La serie de potencias n=0∞Cnx-x₀n=C₀+C1x-x₀+ C2x-x₀2+.
Si x₀=0 tenemos n=o∞Cn xn = C₀+C1+C2x2+C3x3+….
F(x)=n=0∞Cn xn= n=0∞fn0n! xn
F0 = 1
F'x = -...