ejercicios matematica

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU
ESCUELA DE POSGRADO
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MAESTR´ EN MATEMATICAS APLICADAS
IA
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EJERCICIOS DE FUNDAMENTOS DE ANALISIS
(1era lista)
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Eladio OCANA
eocana@imca.edu.pe10 de Abril de 2014
1. Sean (xk )k∈IN y (yk )k∈IN sucesiones acotadas de R. Justifique que
lim inf xk + lim inf yk ≤ lim inf(xk + yk ).
Sugerencia: Denotemos zk = xk + yk para todo k. Sea α = liminf zk . Por
ser α un valor de adherencia, existe una subsucesi´n (zϕ(k) )k∈IN de (zk )
o
tal que zϕ(k) → α. Sea (xφ(ϕ(k)) )k∈IN tal que
lim inf xϕ(k) = lim xφ(ϕ(k)) .
k→∞

k→∞

Como el l´ımite de zφ(ϕ(k)) existe (y vale α), entonces el l´
ımite de yφ(ϕ(k))
tambi´n existe. Tenemos:
e
lim inf xk + lim inf yk

≤

lim inf xφ(ϕ(k)) + lim inf yφ(ϕ(k))
k→∞

=

k→∞

lim xφ(ϕ(k))+ lim yφ(ϕ(k))

k→∞

=

k→∞

lim (xφ(ϕ(k)) + yφ(ϕ(k)) )

k→∞

=

lim zφ(ϕ(k))

k→∞

=

lim inf zk
k→∞

2. Sea p > 0 (finito), considere la funci´n dp : R 2 × R 2 → R definida poro
1/p

2

|xi − yi |

dp (x, y) =

p

para todo x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R 2 .

i=1

(a) Para p = 1/3, 1/2, 1 y 2, esboce el gr´fico del conjunto
a
B p := {x ∈ R 2 : dp (x,0) = 1}.
1

(b) Teniendo en cuenta los esbozos anteriores, conjeture:
i. ¿A qu´ conjunto se aproxima B p cuando p se aproxima a cero
e
(p → 0)?.
ii. ¿A qu´ conjunto se aproxima B p cuando p seaproxima a infinito
e
(p → +∞)?.
3. Encuentre una familia infinita de conjuntos abiertos de R 2 tal que la intersecci´n de todos ellos es abierto.
o
4. Encuentre una familia infinita de conjuntosabiertos de R 2 tal que la intersecci´n de todos ellos es cerrado.
o
5. Encuentre una familia infinita de conjuntos abiertos de R 2 tal que la intersecci´n de todos ellos no es cerrado ni abierto.
o6. Encuentre el complemento (respecto a R n ) de los siguientes conjuntos
(a) C = {x ∈ R n : Ax ≤ a}, donde A ∈ R m×n y a ∈ R m .
(b) C = {x ∈ R n : ∃ α ∈ IN tal que x ≥ α}
7. Sea x = (xk )k∈IN...