Ejercicios matematicas avanzadas para la ingenieria

LISTA DE EJERCICIOS INTEGRACION MULTIPLE Lu.07.03.2011
1.- (i) Sea f(x, y) > 0 en D .Determine el dominio D de:

∫ ∫ f ( x, y)dydx
0 x2

1

x

é intercambie los límites de integración. (ii) Análogamente a (i) para (a)

∫ ∫ f ( x, y )dxdy
0 4y/3

3

25− y 2

(b)

∫ dy ∫
0

a

a+ y

f ( x , y ) dx

, a >0

( b 2 − y 2 ) −1

2.-Sea f(x,y) = (x-y)/(x+y)3 .Mostrarque:
1 1 1 1

∫ dx ∫
0

f ( x , y )dy =

0

1 , 2

y

, ∫ dy ∫ f ( x, y )dx = −
0 0

1 2

3.- (i) ¿ Es verdad que

∫ ∫ sen( 2 y )dydx + ∫ ∫ sen( 2 y )dydx =
1 x 2 x

2 x

πx

4 2

πx

4(2 + π )

π3

?

dy e 4.- Calcular (a) ∫ ∫
0 y

1

1

x2

dx

(b)

∫ dx ∫
0 x

1

1

seny dy y

5.- Precise el dominio e invierta el orden de integración ycalcule la integral

2a x x

(a)

∫ ∫ ∫ xyz dzdydx
0 0 y

(b)

∫∫ ∫e
0 0 y

1 x x+ y

x+ y+ z

dzdydx

6.- Calcular (a)

∫∫
D

x + y dxdy

,

D = { ( x , y ) / | x | ≤ 1, | y | ≤ 1}

∫∫
(b)
D

( x 2 − y 2 ) sen( x + y ) 2 dxdy , donde

D : x + y = 2 , y los ejes coordenado

(c)

∫∫ ( x + x ) dxdy
D

y

,

D:2 ≤ x 2 + y ≤ 3,

0 ≤ y − x2 ≤ 1

∫∫ x(d) (e)
D

2

+ y 2 dxdy,

D : x 2 + y 2 ≤ x, x 2 + y 2 ≥ y > 0

∫∫
D

x2 + y2 dxdy D : x2 + y2 ≤ z, z ≤ 1 ,
y−x

x+ y , s (f) ∫∫e dxdy D : trianguloformadopor x + y = 2, y los ejes coordenado D
1 x2 + y 2

(h)

∫∫ e
D

−

dxdy , D: x 2 + y 2 ≤ 1

7.- Calcular

∫∫ (4 x
A

2

− y 2 ) cos( 2 x + y ) 2 dxdy

Donde A es la región encerrada por las rectas : 2x + y =1 , 2x - y = 1 . 2x + y = - 1 , 2x - y = - 1. 8.- Calcule el área exterior a la lemniscata r2 = 2 a2cos2θ y al circulo de centro cero y radio a. 9.-Sea D = {( u, v ) / 0 ≤ u, v ≤ 1} un dominio en el plano (u, v), sea T una transformación definida por el sistema x = u + v , y = v - u2 . Calcular el valor de la integral ( si existe) :

I =

∫∫
T(D)

dxdy y − x +1

10.- Considere latransformación del plano xy en el plano uv definida por x = v + u , y = - v + u2 . Sea R(u,v) la región acotada por : las rectas: u = 0 , v = 0 , v + u = 2. Calcular

∫∫
R ( x ,y )

d xdy 1+ 4 x + 4 y

11.- Un abanico homogéneo de espesor h (constante) tiene por base la región R = R1 U R2 definida el el plano cartesiano por :
R1 = ( x , y ) ∈ R 2 / 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 , 3 y ≥ x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ 3x R22

{ = {( x , y ) ∈ R

/ 3 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , 3y ≥ x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤
2

} 3x}

Encuentre la masa del abanico si su densidad es
ρ( x , y ) = e − x
3
− y2

∀( x , y ) ∈ R 2

12.- Sea f : D⊆ R →R

tal que
si ( x, y, z ) ∈ D − E si ( x, y, z ) ∈ D

 x2 f ( x, y , z ) =  n −2

donde

 1  E = ( n ,0,0) ∈ R 3 / n ∈ N   2 

y D es el dominio de R3 acotado

por : x + z ≤1 ; z ≥ 0 ; y≥ 0 ; z ≥ y3 (a) (b) ¿Es f integrable en D? Calcule, si existe

∫∫∫ f (x, y, z)dV
D

13.- Determine la masa de la región homogénea x2+ y2 = z2,
z > 0 , interior al cilindro x2+ y2 = 2y, 14.- Calcular

(a)

∫∫∫ zdxdydz
D

,

D: 0 ≤ x , y, z;

x + y = 2, 2 x + y = 6, z 2 + y 2 = 4

(b) (c)

∫∫∫ ( yz + 3 y )dxdydz
D

,

D: A cot ado por x + z = 3, x = 0, z 2 + y2 = 9 D: 0 ≤ x , y , z ≤ 1

∫∫∫ ( x + y + z ) sgn( x − y )dxdydz
D

,

∫∫∫
(d)
D

dxdydz x +y +z
2 2 2

,

D: región encerrada por z = x 2 + y 2 2z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 = 6

15.- Determine el volumen de la región : (a) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 y , x 2 + y 2 ≥ z 2 (b) x 2 + y 2 ≤ 1 + z 2 , x 2 + y 2 ≥ 2 z (c) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , x 2 + ( y − 1) 2 ≤ 1, z ≥ 0, y ≥ 0

(d) x2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≥| ax |Pr oblemadeViviani (e) x 2 + y 2 = 2 x , x 2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0, el plano xy (f) x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≥ a x , a > 0 (g) x 2
+ y 2 ≥ 4| x| , x 2 + y 2 ≤ 16 − z 2 .

16.- Determine la masa del cuerpo acotado por las superficies , en el primer octante, x = 0, z = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 ,z2 + y2 = 4. Si la densidad es proporcional a la...