ejercicios matematicas derivadas

1
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INICIACIÓN AL CÁLCULO
DE DERIVADAS.
APLICACIONES

Página 301
REFLEXIONA Y RESUELVE
Tomar un autobús en marcha
En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús
que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.

① y ② corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar el autobús en marcha.

50 m

2
1

5s

10 s

15 s20 s

a) Al viajero ② lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la velocidad a la que corre.
b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza el
pasajero ②?
¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?
a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 s
después, 40 m más allá.
Corrió, por tanto, a

40= 8 m/s. Es decir: 8 · 3,6 = 28,8 km/h
5

b) En el instante 14 s está a 35 m de la parada. En el instante 16 s está a 50 m de la
parada.
Velocidad media =

15 m
= 7,5 m/s = 27 km/h
2s

Las velocidades del pasajero 2 y del autobús son, aproximadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.

Unidad 12. Iniciación al cálculo dederivadas. Aplicaciones

1

¿Es preferible esperar o correr tras el autobús?
Los viajeros ③ y ④, en el momento de la salida del autobús, estaban a 100 m de
la parada. El ③ decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí.
El ④ tiene un extraño comportamiento. ¿Extraño?
100 m

3

4

50 m

5s

10 s

15 s

20 s

a) Describe el movimiento del pasajero ④.
b) Explica por quéel comportamiento del pasajero ④ es mucho más sensato que
el del ③, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús.
a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él
suavemente.
b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproximadamente); sin embargo, el 3 no.

Carrera de relevos
La siguiente gráfica refleja elcomportamiento de dos atletas, del mismo equipo,
durante una carrera de relevos:
a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 Ò 100 m cada relevista empieza a correr
antes de que llegue su compañero?
b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del
otro?

2.º relevista

c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes?
¿Cómo son sus velocidades en el momento
de la entrega del“testigo”?

1.er relevista

a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades del que llega al que se va.
b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo.
c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproximadamente.

2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

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1. Halla la T.V.M. de la función y = x 2 – 8x + 12 en los siguientes intervalos:[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8]
T.V.M. [1, 2] =

f (2) – f (1)
0–5
=
= –5
1
2–1

T.V.M. [1, 3] =

f (3) – f (1)
–3 – 5
=
= –4
2
3–1

T.V.M. [1, 4] =

f (4) – f (1)
–4 – 5
=
= –3
3
4–1

T.V.M. [1, 5] =

f (5) – f (1)
–3 – 5
=
= –2
4
5–1

T.V.M. [1, 6] =

f (6) – f (1)
0–5
=
= –1
5
6–1

T.V.M. [1, 7] =

f (7) – f (1)
5–5
==0
6
7–1

T.V.M. [1, 8] =

f (8) – f (1)
12 – 5
=
=1
7
8–1

2. Halla la T.V.M. de y = x 2 – 8x + 12 en el intervalo variable [1, 1 + h]. Comprueba, dando a h los valores adecuados, que se obtienen los resultados del ejercicio anterior.
2
f (1 + h) – f (1)
T.V.M. [1, 1 + h] =
= (1 + h) – 8 (1 + h) + 12 – 5 =
h
h
2
h (h – 6)
= h – 6h =
=h–6
h
h

Dando a h los valores 1, 2,3, 4, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio
anterior.

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1. Halla la derivada de y = 5x – x 2 en los puntos de abscisas 4 y 5.
f ' (4) = lím

h80

2
f (4 + h) – f (4)
= lím 5 (4 + h) – (4 + h) – 4 =
h
h
h80

2
2
h (–h – 3)
= lím 20 + 5h – 16 – h – 8h – 4 = lím –h – 3h = lím
=
h
h
h
h80
h80
h80

= lím (–h – 3) = –3
h80

f ' (5) = lím

h80...