Ejercicios Matematicas ( Relaciones Binarias)

Capítulo 6: RELACIONES

1. Introducción

En la vida cotidiana se hace necesario clasificar y ordenar individuos (cosas, animales, personas o números), de una u otra manera. Precisamente buscando llegar a los procesos de clasificación y ordenación de todo aquello que posee características intrínsecas, se estudiará en este capítulo el concepto de relación y como un caso particular de éstas,las funciones (capítulo 7).

René Descartes, conocido matemático y filósofo francés, nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, en la Turena francesa. Considerado el padre de la filosofía moderna. Fue un pensador completo, que abordó también el estudio de las ciencias. En física, sin saber que Galileo ya lo había hecho, resolvió el problema de las leyes que rigen el movimiento de caída de loscuerpos. En matemáticas, fue el creador de la geometría analítica, para lo que estableció el sistema de coordenadas ortogonales, conocido en la actualidad como sistema cartesiano. Consideraba que había tres sustancias: una infinita y autosubsistente, es decir, que existe por sí misma, a la que denominó res infinité que identificó con Dios, y dos sustancias finitas, que dependen para su existencia de lares infinité, a las que llamó res cogitanso sustancia pensante y res extensao sustancia corpórea, cuya principal característica es la extensión en el espacio.

El pensamiento filosófico de Descartes se fundamenta en un método que consiste en tomar un punto de partida indudable sobre el que construir todo el conocimiento. En matemáticas creó la geometría analítica según el mismo principio, apartir de un sistema de coordenadas formado por dos rectas que se cortan en un punto, denominado origen. Descartes fue el inventor de la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, y las variables o incógnitas por las últimas, es decir, x, y, z. En matemáticas, el sistema de referencia se forma sobre un plano con dos rectasperpendiculares que se intersecan en un punto, que se denota con la letra O.

El 11 de febrero de 1650 fue asesinado a los 53 años de edad por envenenamiento con arsénico; pero se creía que había fallecido a causa de una neumonía.

Aunque este capítulo tiene como finalidad estudiar las relaciones binarias desde el punto de vista discreto, también se analizarán desde el punto de vistacontinua, tanto las relaciones como las funciones. Se verán, además, algunas aplicaciones de las relaciones y las funciones en ámbito tecnológico utilizando una notación adecuada para la computadora.

2. Par ordenado

1. Concepto de producto cartesiano

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos donde se tiene prioridad en el orden de dichos elementos; cada uno de esos elementos ocupa unaposición fija. El primer elemento se llama “primera componente” o “primera coordenada” y el segundo elemento se denomina “segunda componente” o “segunda coordenada”.

Las parejas ordenadas se denotan de manera diferente a la de los conjuntos; pues estos últimos se escriben entre llaves (como se vio en el capítulo de conjuntos) y sin importar el orden; por ejemplo,
{x, y}={y, x}

Paradiferenciar un conjunto ordenado de un conjunto cualquiera de dos elementos la notación usada de par ordenado es (x, y). En general se tiene:

(x, y)((y, x)

2. Propiedades del par ordenado

(x, y)=(y, x)(x=y

(x, y)=(m, n)(x=m [pic] y=n

Ejemplo 6.1: las siguientes identidades son verdaderas
• (2, n)=(2, m)(m=n
• (m, 2)=(3, n)(m=3 y n=2
• (x+4,7)=(2x-1, 3y+4)(x=5 e y=1
• (2-m,5-n)=(n+2,m+5)( m es igual al inverso aditivo de n

3. Producto cartesiano

1. Concepto de producto cartesiano

El nombre de producto cartesiano se dio para conmemorar el nombre de quien lo descubrió[1]: René Descartes

Sean A y B conjuntos diferentes del vacío. El producto cartesiano de A y B denotado AxB es el conjunto formado por todas las...