ejercicios matematicas

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Prof.:luis orozcofuenzalida
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS III MAT62300

ECUACIONES DIFERENCIALES
I.- SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
$

1.- Verifique que C œ E-9=ÐBÑ  F=/8ÐBÑ  # /B es solución de la ecuación
diferencial Cww  C œ $/B .
$

Solución: C

œ

Cw

œ

E-9=ÐBÑ  F=/8ÐBÑ  # /B
$
E=/8ÐBÑ  F-9=ÐBÑ  # /B

Cww

œ

 E-9=ÐBÑ  F=/8ÐBÑ  # /B

¾ Cww  C

$

œ
œ

$

$

 E-9=ÐBÑ  F=/8ÐBÑ  # /B  E-9=ÐBÑ  F=/8ÐBÑ  # /B
$/B

2.- Encuentre una solución de Cww  #Cw  $C œ ! de la forma C œ /#

> # -

¾ la solución de la E.D. es: 68¸C¸ œ >  #  Ð68Ð$ÑÑ  # .
>#

"

$

5.- Resuelva el problema de valor inicial C  BCw œ $Ð"  B# Cw Ñ, CÐ"Ñœ % ; usando el
método de variables separables.

5

Si
Ê
Ê

C  BCw
C  BCw
C$

Ê

Solución:

Ð$B#  BÑ .B

Ê
Ê
Ê

œ
œ
œ
œ

.C

"
' C  $ .C
"
C  $ .C

$Ð"  B# Cw Ñ
$  $B# Cw
$B# Cw  BCw
C$

œ
œ

68¸C  $¸

œ

"
' ” B  $B$ " •.B

68¸B¸  68¸$B  "¸  -

CÐ"Ñ

Si
Ê
Ê
Ê

‚'

"
BÐ$B  "Ñ .B

œ

$
%

Bœ"

e

Cœ %

$œ

*

68¸"¸  68¸%¸  -

œ

68º  % º
68Ð*Ñ

-

B
¾ la solución es: 68¸C  $¸ œ 68¸B¸  68¸$B  "¸  68Ð*Ñ o ¸C  $¸ œ *º $B  " º

o C œ $  *Œ $B  " Þ
B

6.- Resuelva el problema de valor inicial Ð"  CÑ.B  Ð'B  &BCÑ.C œ ! , CÐ"Ñ œ ";
usando el método de variables separables.
Solución:

Si

Ð"  CÑ.B  Ð'B  &BCÑ.C

œ

!

Ê

Ð"  CÑ.B  BÐ'  &CÑ.C

œ!

'  &C
"
B .B  "  C .C

œ

!

œ

-

œ

-

œ

-

Ê
Ê
Ê
Ê
Si
Ê
Ê
Ê

"
' B .B  ' '" &C .C
C
"
"
' B .B  ' Œ&  "  C .C

68¸B¸  &C  68¸"  C¸

CÐ"Ñ
Bœ"
68¸"¸  &  68¸#¸
&  68Ð#Ñ

œ
e
œ
œ

‚ ƒ BÐ"  CÑ
‚'

"
Cœ"
-

¾ la solución es: 68¸B¸  &C  68¸"  C¸ œ &  68Ð#Ñ o ¸B¸¸"  C¸/&C œ #/& o
#/&

B œ Ð"  CÑ/&C Þ

6

7.-Determine la solución particular de Cw œ

"  #C
$B# , con la condición inicial CÐ"Ñ œ !Þ

"  #C

Solución: Si Cw œ $B# , entonces la podemos resolver como una ecuación
diferencial de variables separables.
Si
Ê
Ê
Ê
Si
Ê
Ê

'

.C
.B

"
"  #C .C
"
"  #C .C

" ¸
¸
# 68 "  #C

CÐ"Ñ
Bœ"
" ¸ ¸
68 "
#

Ê

"
$

"  #C
$B#
"
$B# .B
"
$B# .B
"
 $B  -

œ'

œ
œ
œ

œ
e

!
Cœ!

œ

‚'

 $ -

œ

"

"  #C
$B# , con la condición inicial CÐ"Ñ œ ! es:
"
"
"
" #B  #
68Ð"  #CÑ œ  $B  $ o C œ # ”/ $B  " •.
#

¾ la solución particular de Cw œ

$BC#

8.- Determine la solución particular de Cw œ ÐB  %Ñ$ , con la condición inicial CÐ"Ñ œ "Þ
$BC#

Solución: Si Cw œ ÐB  %Ñ$ , entonces la podemos resolver como unaEcuación
Diferencial de Variables Separables.
Si
Ê
Ê
Ê
Ê
Ê

'

.C
.B
"
C# .C
"
C# .C
"
C
"
C
"
C

œ
œ
œ
œ
œ
œ

$BC#
ÐB  %Ñ$
$B
ÐB  %Ñ$ .B
$B
ÐB  %Ñ$ .B
$ÐB  %Ñ  "#
ÐB  %Ñ$ .B
$
"#
” ÐB  %Ñ#  ÐB  %Ñ$ •.B
$
'
 ÐB  %Ñ  ÐB  %Ñ#  -

'
'
'

7

‚'

Si
Ê

CÐ"Ñ
Bœ"

Ê

"

Ê

$

"
%

œ
e

"
Cœ"

œ

 $

œ-

$



'
Ð$Ñ#  -

$BC#

¾ la solución particular de de Cw œ ÐB  %Ñ$ , con la condición inicial CÐ"Ñ œ "
"

$

es:  C œ  ÐB  %Ñ

9.- Resuelva el P.V.I Cw œ
Solución:

Ê
Ê

œ

"
' "  #C .C

œ
œ

"
¸
¸
# † 68 "  #C

CÐ"Ñ
Bœ"
"
† 68¸$¸
#

"
# 68Ð$Ñ

, CÐ"Ñ œ "Þ

œ

"
"  #C .C

Ê

Si
Ê

"  #C
$B

.C
.B

Ê

Ê

$ÐB  %Ñ#
'%
#  $ o C œ %B#  #$B  %' .
ÐB  %Ñ

Cw

Si

Ê



œ
e

œ

"  #C
$B
"  #C
$B
"
$B .B

"
' $B .B

‚'

"
¸ ¸
$ † 68 B  -

"
Cœ"

œ

"
¸ ¸
$ † 68 "  -

œ

-

Por lo que la solución es: # † 68¸"  #C¸ œ $ † 68¸B¸  # 68Ð$ÑÞ
"

"

"

IV.- ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
.C

1.- Resuelva la ecuación diferencial: .B œ
homogénea.

C$ ...