Ejercicios matematicos

CAPÌTULO VI


6. POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS


POTENCIAS Y FUNCIÓN POTENCIA, RAÍCES Y FUNCIÓN RAÍZ, FUNCIÓN EXPONENCIAL, LOGARITMOS Y FUNCIÓN LOGARITMO.


6.1. POTENCIAS

Definición: Una potencia es una multiplicación donde los factores involucrados son iguales. Por ejemplo: 3 · 3 · 3 · 3. A este factor multiplicado por sí mismo se le denomina base y al número de veces que estámultiplicada esta base por sí misma se le denomina exponente. En general,

a · a · a · a ...... (n veces) = an a = base
n = exponente

Ejemplos:

a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26

b) (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = (−5)4

c) [pic]


6.1.1. Suma de potencias


Sólo se pueden sumar potencias de igual base e igual exponente. Equivale a reducir términos semejantes.

a) a5 + a5 + a5 =3a5


b) 32 + 32 + 32 + 32 = 4 · 32 = 4 · 9 = 36


c) x2y + 3x2y + x2y + 2x2y = 7x2y

Las expresiones: x2y + xy2 y x3 + x5 , no se pueden reducir, pues no son términos semejantes.


6.1.2. Multiplicación de potencias.

I. Potencias de igual base.

Para multiplicar potencias de igual base, se debe mantener la base y se suman los exponentes.

Ejemplos:

i) a5 ·a5 = a10

ii) x−3 · x−3 · x−3 · x−3 = x−12

iii) a6 · a2 = a6 + 2 = a8

iv) 35 · 3−6 = 35 + (−6) = 3−1


II. Potencias de distinta base e igual exponente.

En este caso, se multiplican las bases y se mantiene el exponente común.

Ejemplos:

i) a6 · b6 = (a · b)6

ii) 33 · 53 = (15)3

iii) x−3 · y−3 · z−3 = (xyz)−3

iv) 25 · 35 · 45 · 55 = (120)5

Observación: Si laspotencias tienen distinta base y distinto exponente, no se puede multiplicar, a menos que se puedan calcular previamente.

Ejemplos:

i) x2 · y3 = x2 · y3

ii) 33 · 52 = 27 · 25

iii) a6 · b = a6b


6.1.3. División de potencias.


I. División de potencias de igual base e igual exponente


En este caso el resultado es 1.

Ejemplos:

i) [pic]
ii) [pic]
iii) [pic]
iv)[pic]


II. División de potencias de igual base y distinto exponente.


En este caso, se mantiene la base y se restan los exponentes.


Ejemplos:

i) [pic]
ii) [pic]
iii) [pic]
iv) [pic]

III. División de potencias de distinta base e igual exponente.


En este caso, se dividen las bases y se mantiene el exponente común.

Ejemplos:

i) [pic]
ii) [pic]
iii) [pic]Observación: Las potencias de distinta base y distinto exponente no se puede dividir, a menos que se puedan calcular previamente.

Ejemplos:
i) [pic]
ii) [pic]


6.1.4. Potencia de una potencia.

Es el caso en que la base de una potencia es, a su vez, una potencia. La operación se realiza manteniendo la base inicial y multiplicando los exponentes.

Ejemplos:

i) (a5)2 = a10

ii) ((23)2)2) =212
iii) [pic]
iv) ((b)2)−3 = b−6

v) (((840)3)2)0 = 8400


6.1.5. Potencias de exponente cero.

Toda base distinta de 0 elevada a exponente cero es igual 1.

Ejemplos:

i) a0 = 1

ii) (x + y2 − 3z)0 = 1

iii) a0 + b0 − 1.0000 = 1 + 1 − 1 = 1
iv) [pic]

6.1.6. Potencias de exponente negativo.

Si el exponente de una potencia es menor que 0 (negativo), el resultadoes el valor recíproco o inverso multiplicativo de la base, elevado al mismo exponente, pero positivo.

Ejemplos:

i) 3−2 = [pic]
ii) 4−1 = [pic]
iii) (a−2)3 = a−6 = [pic]
iv) [pic]
v) [pic]
vi) [pic]


Ejercicios:

Diga si es verdadero o falso:

1) 53 = 35 6) 82 − 43 = 0

2) 53 = 15 7) 82 + 83 = 85

3) 4−3 = 64 8) 42 + 32 = 72

4) 42 = 8 9) 45 · 55 = 2010

5) 4−1 =0,25 10) 33 − 30 = 26


6.1.7. Signos de una potencia.

Toda base distinta de 0 elevada a un exponente par es un número positivo, independientemente de la naturaleza de la base.

Si una base está elevada a un exponente impar existen 2 posibilidades.

i) Si la base es positiva el resultado es positivo.
ii) Si la base es negativa el resultado es negativo.

Observación:...