Ejercicios modelos probabilisticos

BASE DE DATOS PROBLEMAS PARCIAL 1
Problema 1:
Una alumna trae cada día a la Universidad una tableta de chocolate, y de cuando en cuando le da un mordisco. Asumiendo que esta alumna tiene clases desde las 8:00am hasta las 5:00pm, y que sigue una distribución de Poisson de media 1 mordisco por hora:
a) Encuentre la probabilidad que soporte la primera hora de clase sin morder su tableta, pero quea la segunda hora si la muerda.
b) Si entre las 8:00 y las 14:00 horas, la ha mordido en cuatro ocasiones, ¿qué probabilidad hay de solo haya hecho 1 durante las tres primeras horas de clase?
Solución:
a. Respuesta:
Defina por N(t) el numero de mordiscos que la alumna hace a su chocolatina hasta el tiempo t. De acuerdo con el enunciado tenemos es un proceso de Poisson con parámetro λ=1.
Laprobabilidad que entre las 8:00 y las 9:00 haya habido 0 mordiscos, pero que entre las 9:00 y las 10:00 haya habido 1, se encuentra así:
Como son dos eventos que suceden en intervalos que no se solapan se cumple la propiedad de incrementos independientes y quedaría así:
Así mismo por incrementos estacionarios:
b. Respuesta:
Si entre las 8:00 y las 14:00 horas, la ha mordido en cuatro ocasiones,la probabilidad que solo 1 haya sido en las tres primeras horas de clase, se halla así:
Como los eventos suceden en intervalos de tiempo que se solapan, entonces:
Ahora teniendo en cuenta incrementos estacionarios e independientes:
Punto 2:
Un barco pesquero realiza sus travesías cada semana a un lugar diferente. El barco en que el que van los pescadores tiene 2 motores de propulsión, pero apesar que los motores son nuevos durante una misión existe una probabilidad de 0.1 que alguno de ellos falle. El barco puede navegar con un motor averiado, es decir con uno de los dos motores puede continuar su rumbo. En este caso, uno de los pescadores está capacitado para reparar el motor averiado, con una probabilidad de éxito de 0.6, en cada viaje, y el tiempo que dura reparándolo es de 1semana. Si se averían los dos motores, el barco es remolcado inmediatamente a su destino, en donde llaman a un técnico especializado para que repare el barco por completo y a la siguiente semana puedan volver a realizar un nuevo viaje. Puede que se necesite más de una semana para reparar el motor, pero el equipo de pesca solo inicia sus travesías al inicio de cada semana. Inicialmente el barco navegaen perfectas condiciones.
a) Modele esta situación como una Cadena de Markov. Identifique la variable y los estados.
b) Realice el grafo y calcule la matriz de transición.
c) Identifique si la matriz es ergódica y si sí lo es halle la probabilidad que a largo plazo el jefe del barco deba contratar un técnico especializado por una semana para que lo arregle completamente.
Solución:
a) Modeleesta situación como una Cadena de Markov. Identifique la variable y los estados.
b) Realice el grafo y calcule la matriz de transición.
Cada una de las probabilidades se deben hallar teniendo en cuenta los eventos que suceden al mismo tiempo de acuerdo al funcionamiento del motor de cada motor de una semana a otra. Por ejemplo, la probabilidad de pasar de 0 motores funcionando a 0 motoresfuncionando en la siguiente semana, se encuentra teniendo en cuenta que ninguno de los dos motores es reparado. Si la probabilidad de reparar un motor es de 0.6, entonces que no lo arreglen es 0.4, y como el barco tiene dos motores, entonces la probabilidad en este loop es de 0.4*0.4=0.16.
La probabilidad que haya un motor funcionando en una semana y en la siguiente también, hay que considerar lassiguientes posibilidades: que el averiado hubiera sido arreglado y el otro se hubiera averiado, o lo contrario, que el averiado no hubiera podido ser reparado y que el que estaba en buenas condiciones continúe así. Por lo cual esas probabilidades son respectivamente: (0.6*0.1)+(0.4*0.9)=0.42.
Ahora que hubiera la semana pasada 2 motores en funcionamiento y esta semana solo haya uno, es porque uno de...