Ejercicios Olimpiadas
Páginas: 9 (2127 palabras)
Publicado: 31 de octubre de 2012
3º NIVEL
1. Un cuadrado con lados de longitud entera está dividido en 89 cuadrados más pequeños, 88 de ellos de lado 1 y el restante de lado de longitud entera, mayor que 1. Hallar los posibles valores del lado del cuadrado inicial.
2. En cada casilla de un tablero de 100×100 hay escrito un número. En la primera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los enterosdesde 1 hasta 100, en la segunda fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 2, desde 2 hasta 200; en la tercera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 3, desde 3 hasta 300; y así siguiendo, en la fila k están los múltiplos de k desde k hasta 100k. Consideramos la diagonal del tablero que une la esquina inferior izquierda conla esquina superior derecha. Determinar cual es el mayor de todos los números escritos en las casillas de esta diagonal.
3. Sea ABCD un rectángulo de lados AB’CD’10 y BC’DA’15. Designamos M al punto medio de AB y P al punto del lado BC tal que PC’5. Se traza por P la perpendicular a DM que corta a DM en Q. Calcular la medida del segmento PQ.
4. Gabriel escribe una lista de 200 números deacuerdo con la siguiente regla: el primer número es 2005, el segundo es 1, y a partir de allí, en cada paso escribe la resta del último número ya escrito menos el penúltimo número escrito más 5. Por ejemplo, el tercer número es -1999, pues 1-2005+5=-1999.
Calcular la suma de los 200 números de la lista de Gabriel.
5. Hallar todos los enteros positivos a y b tales que [pic] y
[pic]
6. Alplegar una hoja rectangular se obtuvo un rectángulo de 9´12, como muestra la figura.
[pic]
Calcular las dimensiones de la hoja antes de plegarse.
7. Un arqueólogo ha descubierto que una antigua civilización usaba 5 símbolos para representar los números: [pic]. Estos símbolos corresponden en algún orden a los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. De este modo, cuando escriben [pic] representan un número enbase 5:
[pic].
El arqueólogo sabe que los siguientes tres números son consecutivos, ordenados de menor a mayor:
[pic], [pic] y [pic].
Hallar el valor de cada símbolo y cuáles son los tres números consecutivos.
8. En la pantalla de la computadora hay inicialmente un rectángulo de 21 milímetros de ancho y 33 milímetros de alto. Cada vez que se aprieta la tecla “+”, el ancho aumenta 2milímetros y el alto aumenta 1 milímetro. Determinar cuántas veces hay que apretar la tecla “+” para que el área del rectángulo de la pantalla sea 25 veces el área del rectángulo inicial.
9. Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AB=16 y AC=18. Una paralela a AB corta lado AC en P y al lado BC en Q de modo que el área del trapecio ABQP es 63. Calcular la longitud del segmento PQ.
10. Nachoescribió una progresión aritmética de primer término 101 y diferencia 2: 101, 103, 105, ...
Nico escribió una progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 10: 5, 15, 25, ...
Las dos progresiones tienen la misma cantidad de términos y las dos progresiones tienen la misma suma. Determinar cuántos términos tiene cada progresión y cuánto vale la suma.
11. Si a, b son números tales que[pic]
calcular el producto ab.
12. Sea ABC un triángulo rectángulo con [pic], [pic] y [pic]. Sean D y E puntos del lado BC tales que [pic] y [pic]. Calcular la medida del ángulo [pic]
13. Cinco objetos, todos de pesos enteros, se han pesado en grupos de 3 de todas las maneras posibles y se obtuvieron los siguientes 10 pesos en kilogramos:
10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24.
Calcularcuánto pesa cada uno de los cinco objetos.
14. Calcular cuántos enteros entre 1 y 2004 tienen la suma de sus dígitos igual a un múltiplo de 5.
15. Sea ABC un triángulo rectángulo en C con AB=120 y AC=72.
Se considera el punto P de AB tal que 3BP=AB y el punto Q de BC tal que PQ es perpendicular a AB.
Calcular el área del cuadrilátero APQC.
16. Hallar todos los pares de números enteros...
1. Un cuadrado con lados de longitud entera está dividido en 89 cuadrados más pequeños, 88 de ellos de lado 1 y el restante de lado de longitud entera, mayor que 1. Hallar los posibles valores del lado del cuadrado inicial.
2. En cada casilla de un tablero de 100×100 hay escrito un número. En la primera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los enterosdesde 1 hasta 100, en la segunda fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 2, desde 2 hasta 200; en la tercera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 3, desde 3 hasta 300; y así siguiendo, en la fila k están los múltiplos de k desde k hasta 100k. Consideramos la diagonal del tablero que une la esquina inferior izquierda conla esquina superior derecha. Determinar cual es el mayor de todos los números escritos en las casillas de esta diagonal.
3. Sea ABCD un rectángulo de lados AB’CD’10 y BC’DA’15. Designamos M al punto medio de AB y P al punto del lado BC tal que PC’5. Se traza por P la perpendicular a DM que corta a DM en Q. Calcular la medida del segmento PQ.
4. Gabriel escribe una lista de 200 números deacuerdo con la siguiente regla: el primer número es 2005, el segundo es 1, y a partir de allí, en cada paso escribe la resta del último número ya escrito menos el penúltimo número escrito más 5. Por ejemplo, el tercer número es -1999, pues 1-2005+5=-1999.
Calcular la suma de los 200 números de la lista de Gabriel.
5. Hallar todos los enteros positivos a y b tales que [pic] y
[pic]
6. Alplegar una hoja rectangular se obtuvo un rectángulo de 9´12, como muestra la figura.
[pic]
Calcular las dimensiones de la hoja antes de plegarse.
7. Un arqueólogo ha descubierto que una antigua civilización usaba 5 símbolos para representar los números: [pic]. Estos símbolos corresponden en algún orden a los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. De este modo, cuando escriben [pic] representan un número enbase 5:
[pic].
El arqueólogo sabe que los siguientes tres números son consecutivos, ordenados de menor a mayor:
[pic], [pic] y [pic].
Hallar el valor de cada símbolo y cuáles son los tres números consecutivos.
8. En la pantalla de la computadora hay inicialmente un rectángulo de 21 milímetros de ancho y 33 milímetros de alto. Cada vez que se aprieta la tecla “+”, el ancho aumenta 2milímetros y el alto aumenta 1 milímetro. Determinar cuántas veces hay que apretar la tecla “+” para que el área del rectángulo de la pantalla sea 25 veces el área del rectángulo inicial.
9. Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AB=16 y AC=18. Una paralela a AB corta lado AC en P y al lado BC en Q de modo que el área del trapecio ABQP es 63. Calcular la longitud del segmento PQ.
10. Nachoescribió una progresión aritmética de primer término 101 y diferencia 2: 101, 103, 105, ...
Nico escribió una progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 10: 5, 15, 25, ...
Las dos progresiones tienen la misma cantidad de términos y las dos progresiones tienen la misma suma. Determinar cuántos términos tiene cada progresión y cuánto vale la suma.
11. Si a, b son números tales que[pic]
calcular el producto ab.
12. Sea ABC un triángulo rectángulo con [pic], [pic] y [pic]. Sean D y E puntos del lado BC tales que [pic] y [pic]. Calcular la medida del ángulo [pic]
13. Cinco objetos, todos de pesos enteros, se han pesado en grupos de 3 de todas las maneras posibles y se obtuvieron los siguientes 10 pesos en kilogramos:
10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24.
Calcularcuánto pesa cada uno de los cinco objetos.
14. Calcular cuántos enteros entre 1 y 2004 tienen la suma de sus dígitos igual a un múltiplo de 5.
15. Sea ABC un triángulo rectángulo en C con AB=120 y AC=72.
Se considera el punto P de AB tal que 3BP=AB y el punto Q de BC tal que PQ es perpendicular a AB.
Calcular el área del cuadrilátero APQC.
16. Hallar todos los pares de números enteros...
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