Ejercicios_Practicos

Probabilidad y Estad´ıstica - 2006 - IMERL - FING

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Problemas de conteo

Ejercicio 1.1
En cierta ciudad las matr´ıculas de los autos se forman con 2 vocales diferentes seguidas de 5
d´ıgitos todos diferentes. Determinar la cantidad de matr´ıculas que pueden hacerse y determinar
cu´antas de ellas comienzan con A y terminan con 89.
Ejercicio 1.2
Entre 3 ingenieros, 5 economistas y 4arquitectos deben seleccionarse 4 para formar una comisi´on.
1. Calcular cu´antas comisiones diferentes podr´ıan formarse.
2. Calcular cu´antas de esas comisiones estar´ıan integradas por un ingeniero, dos economistas
y un arquitecto.
3. Calcular en cu´antas comisiones habr´ıa por lo menos dos arquitectos.
Ejercicio 1.3
En una f´abrica los productos se codifican con 3 letras distintas que indican 3operaciones que
sufren cada uno de los productos y 3 cifras distintas y en ese orden: primero las letras y despu´es
los n´
umeros. Las letras utilizadas son A, B, C y D.
1. ¿Cu´antos productos pueden codificarse?
2. ¿Cu´antos c´odigos empiezan con A y terminan con 9?
3. ¿En cu´antos los n´
umeros 0 y 2 aparecen juntos y en ese orden?
4. ¿En cu´antos los n´
umeros 0 y 2 aparecen juntos?
5. ¿En cu´antosproductos aparecen dos n´
umeros pares juntos y el otro es impar?
Ejercicio 1.4
Una caja fuerte se abre mediante una cierta clave de 5 d´ıgitos (pueden ser repetidos). Ud. es lo
suficientemente audaz como para intentar abrirla, y lo hace probando n´
umeros al azar. ¿Cu´antas
claves posibles hay? ¿Cu´antas claves posibles hay si se usan s´olo los d´ıgitos de 1 a 6 en vez de
usar los 10?
Ejercicio 1.5Se juega a un juego del tipo 5 de Oro: hay que acertar 5 n´
umeros, elegidos dentro de 36 posibilidades.
1. ¿Cu´antas jugadas posibles hay?
2. Si se eligen 5 n´
umeros a priori, ¿cu´antas jugadas posibles hay que contengan exactamente
uno de los n´
umeros elegidos?
3. Si se eligen 5 n´
umeros a priori, ¿cu´antas jugadas posibles hay que contengan por lo menos
2 de los n´
umeros elegidos?
Ejercicio1.6 *
Usted va a la panader´ıa a comprar una docena de bizcochos. En la panader´ıa s´olo quedan
croissants, margaritas y galletas en cantidades suficientes.
1. ¿Cu´antas elecciones distintas puede hacer?
2. Usted llega a la facultad con α croissants, β margaritas y γ galletas (α + β + γ = 12) y los
reparte entre usted y 11 amigos. ¿Cu´antos repartos puede hacer? (Calcular en funci´on de
α, β yγ). ¿Cu´anto deben valer α, β y γ para que dicha cantidad sea m´axima? (Sugerencia:
ver como var´ıa dicha cantidad al variar en una unidad alguno de los par´ametros)

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Propiedades de la Probabilidad

Ejercicio 2.1
Sean A, B y C sucesos. Expresar mediante operaciones con conjuntos los sucesos que corresponden
a:
1. Ocurren A y B.
2. Ocurren lostres sucesos.
3. Ocurre A u ocurre B.
4. Ocurre por lo menos uno de los tres sucesos.
5. Ocurre A u ocurre B pero no los dos simult´aneamente.
6. No ocurre B.
7. No ocurre ni A ni B.
8. No ocurre ninguno de los tres sucesos.
9. Ocurre A y no ocurre B.
10. Ocurre exactamente uno de los tres sucesos.
11. Ocurren por lo menos dos de los tres sucesos.
Ejercicio 2.2
Se consideran dos sucesos A y Btales que P (A) = 1/3 y P (B) = 1/2. Determinar el valor de
P AC ∩ B en los siguientes casos:
1. A y B incompatibles (mutuamente excluyentes).
2. A ⊂ B.
3. P (A ∩ B) = 1/8.
Ejercicio 2.3
Se consideran los sucesos A y B con: P (A) = 0.375, P (B) = 0.5, P (A ∩ B) = 0.25. Calcular:
1. P AC y P B C .
2. P (A ∪ B).
3. P AC ∩ B C .
4. P AC ∩ B y P A ∩ B C .
Ejercicio 2.4
Sea P una medida de probabilidad enΩ. Demostrar que:
1. Si A y B son sucesos tales que A ⊂ B entonces:
P (B \ A) = P (B) − P (A)
Deducir que P (A) ≤ P (B).
2. Probar que P (A ∪ B)

max{P (A) , P (B)} y que P (A ∩ B)

min{P (A) , P (B)}

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3. * Si A, B y C son sucesos entonces se cumple que:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩ B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+P (A ∩ B ∩ C)
4. * Si...