Ejercicios Probabilidad

1. Una urna contiene cuatro balotas con los números 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Si se toman dos balotas de la urna sin sustitución y X es la suma de los números de las dos balotas extraídas, determine la distribución de probabilidad de X y represéntela por medio de un histograma.

Resultado X Ocurrencia Probabilidad
(1,2) (2,1) 3 2 2/12
(1,3) (3,1) 4 2 2/12
(1,4) (2,3) (3,2)(4,1) 5 4 4/12
(2,4) (4,2) 6 2 2/12
(3,4) (4,3) 7 2 2/12

2. Para las siguientes tablas de datos, determine si se trata de una distribución de
probabilidad. En los casos en que sea así, identifique los requisitos que no se
satisfacen. En los casos en que si se describa una distribución de probabilidad,
calcule su media y desviación estándar

Tienen que satisfacerf(0)=0,125>=0
f(1)=0,375>=0
f(2)=0,375>=0
f(3)=0,125>=0
Satisface la primera condición.
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,125+0,375+0,375+0,125=1
Satisface la segunda condición
Por lo tanto si es una distribución de probabilidad.
La media está definida por:
Media= 0*0,125 + 1*0,375 + 2*0,375 + 3*0,125 = 1,5
La varianza:
Varianza= ((02-0,125)+(12-0,375)+(22-0,375)+(32-0,125))-1,52=
Ladesviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza=

 Para una función acumulada se debe cumplir que:

Se cumple la primera porque todos los valores de F(x) están entre 0 y 1.
No se cumple la segunda porque para 0<=1 F(0)>F(1) es decir, 0,502>0,365
No se cumple la tercera porque P(3>2) es diferente a 1-F(2)
No se cumple la cuarta ni la quinta porque F(0) es un valor que notiende a cero y F(4) no es igual a 1.
3.- El espacio muestral de un experimento aleatorio es a,b,c,d,e, f , y cada
resultado es igualmente probable. Se define una variable aleatoria de la siguiente
manera:

a.

Son 6 posibles resultados (a,b,c,d,e,f) y todos son igualmente probables, por lo tanto para cada resultado la probabilidad es 1/6… sin embargo, para definir la función deprobabiliadad vemos que si x es 0, el resultado puede ser a o b, por lo tanto la probabilidad es el doble (2/6), lo mismo ocurre cuando x es 1,5.
b. P(X=1,5)=f(1,5)=2/6
c. P(0,5<X<2,7) = f(1,5) + f(2) = 2/6 + 1/6 = 3/6
d. P(X>3) = 0
e. P(0<=X<2) = f(0) + f(1,5) =2/6 + 2/6 = 4/6
f. P(X=0 o X=2)= P(X=0) + P(X=2)=2/6 + 1/6 = 3/6
g. Media= 0*2/6+ 1*2/6 + 2*1/6 + 3*1/6 = 1,333

4.- Sea Xuna variable aleatoria discreta. Determine el valor de k para que la
función f (x) k / x , x = 1, 2, 3, 4, sea la función de probabilidad de X. Determine
además P(1 X 3) .
Para toda función se tiene que cumplir que

Entonces
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= k/1 + k/2 + k/3 + k/4 =1
(12k+ 6k + 4k + 3k)/12=1
25k=12
k=12/25
P(1<=X<=3) = f(1) + f(2) + f(3) = 12/(25*1) + 12/(25*2) + 12/(25*3)= 12/25 + 12/50 + 12/75 = 22/25 = 0.88
5.- El rango de la variable aleatoria X es [0, 1, 2, 3, x], donde x es una incógnita. Si
cada valor es igualmente probable y la media de X es 6, calcule x.
La media está definida por La media está definida por:
Y como cada valor es igualmente probable entonces f(x)=1/5
Entonces la media= 6 = 0*1/5 + 1*1/5 + 2+1/5 + 3*1/5 + x*1/5 = 30=6+x
Entonces x=246.- Compruebe que la siguiente función es función de distribución acumulada de la
variable aleatoria discreta X y calcule la función de probabilidad y las
probabilidades pedidas.

 Para una función acumulada se debe cumplir que:

Se cumple la primera porque todos los valores de F(x) están entre 0 y 1.
Se cumple la segunda porque para 0<=0,3 F(0)<F(0,3) es decir, 0,25<0,75
Paracomprobar la tercera se determina la función de probabilidad
f(x) = 0 x< -0,1
0,25 -0,1=x
0 -0,1<x<0,3
0,5 0,3=x
0 0,3<x<0,5
0,25 x=0,5
0 x>0,5
Por lo tanto P(X>0,5)= 0= 1.F(x) = 1-1=0 se cumple
Se cumple la cuarta porque F(para x menor a -0,1)=0
Se cumple la quinta porque F(para x mayor a 0,5)=1
Si es una función acumulada de probabilidad.

Usando la...