Ejercicios procesos poisson

Universidad de Chile Facultad de Ciencias F´ ısicas y Matem´ticas a Departamento de Ingenier´ Industrial ıa

´ IN44A: INVESTIGACION OPERATIVA

Procesos de Poisson

Denis Saur´ V. e Julio, 2003.

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1.

Problemas de Procesos de Poisson

1. Se tiene una central telef´nica que recibe llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa λ = 5 o [llamadas/hora]. Se define con N (t, t )el n´mero de llamadas que se han recibido entre t y t . El servicio u ha comenzado a operar a las 7:00 de la ma˜ana y se sabe que N(7, 9)=7. n a) Si el operador no ha recibido ninguna llamada desde las 8:45 hrs. ¿cu´l es la probabilidad de que a la siguiente llamada ocurra antes de las 9:15 hrs. ?. b) ¿Cu´l es la probabilidad de que el operador est´ ocioso por m´s de 40 minutos (comenzando a las ae a 8:45)?. c) ¿Cu´l es la probabilidad de que a las 10:00 hrs. se hayan recibido 25 llamadas en total?. a a a a a d ) Si el operador trabaja un turno de 8 horas ¿cu´ntos llamados recibir´ en promedio ?. ¿cu´l ser´ la varianza ?. e) El operador ha estado muy ocupado durante las primeras 4 horas de su turno y le comenta a su compa˜ero de trabajo en su hora de colaci´n: “Este ser´ un d´ muy ocupado,en la ma˜ana casi n o a ıa n no he podido descansar”. Explique si el operador tiene o no razones para realizar esta afirmaci´n. o 2. Suponga que el n´mero de goles que marca un equipo de f´tbol puede ser descrito por un proceso de u u Poisson. Considere los siguientes equipos (procesos independientes) : A : tasa λA goles/partido B: tasa λB goles/partido a) Si se enfrentan A y B, ¿Cu´l es laprobabilidad de que A gane 2 x 1?. a b) Suponga que ha transcurrido el primer tiempo entre A y B, si se sabe que A va ganando 2 x 0, ¿cu´l es la probabilidad de que el primer gol haya sido antes de 15 min. y el segundo antes de 30 a min.?. c) Va a comenzar el segundo tiempo (A va ganando 2 x 0), ¿cu´l es la probabilidad de que A marque a 3 goles antes de los 30 min. (sin importar lo que pase con B)?. d) Suponga que el partido en su tiempo reglamentario (90 min.) qued´ igualado 3 x 3. Sin embargo, es o necesario definir el ganador, para ello se utilizar´ la modalidad “golden goal”, es decir, el primero a que marca el gol gana. ¿Cu´l es la probabilidad de que el partido se prolongue por m´s de 45 a a minutos?. e) Asuma que ahora se cambian las reglas a “two golden goals”, es decir, el primerequipo que marca 2 goles consecutivos gana. ¿Cu´l es la probabilidad de que gane B?. a 3. (*) Una empresa de distribuci´n de energ´ el´ctrica ha decidido enfrentar el invierno venidero con un o ıa e Plan de Soluci´n de Fallas Cr´ o ıticas. De las estad´ ısticas recopiladas de los a˜os anteriores, se puede concluir que las fallas cr´ n ıticas tienen dos or´ ıgenes posibles: Domiciliario y de AlumbradoP´blico. Ambas fallas se presentan seg´n procesos u u de Poisson independientes, de tasa λD [fallas/d´ para fallas domiciliarias y λA [fallas/d´ para fallas de ıa] ıa] Alumbrado P´blico. u Como parte del dise˜o del plan, se conform´ un equipo de empleados altamente capacitados en la n o reparaci´n de fallas en redes el´ctricas. Este equipo acude a reparar las fallas reportadas demor´ndose o e a untiempo exponencialmente distribuido de media T[hrs] por cada una, incluyendo en este lapso el tiempo de transporte al lugar de la falla. a u a) Si durante el primer mes de funcionamiento del Plan se han reportado F fallas, ¿cu´l es el n´mero esperado de fallas para el segundo mes?.

2 a b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la primera falla que se registre en un mes sea domiciliaria?. c) El equipode reparaci´n est´ trabajando en la soluci´n de una falla de Alumbrado P´blico. En o a o u promedio, ¿Cu´ntas fallas de cada tipo ocurrir´n antes de que la reparaci´n en curso sea finalizaa a o da?. Se est´ estudiando la posibilidad de dejar la reparaci´n de fallas de Alumbrado P´blico en manos de a o u una empresa contratista. Los t´rminos del contrato indican que mensualmente se pagar´ como...