Ejercicios Propuestos

Universidad de Santiago de Chile
C´alculo III para Ingenier´ıa
Ayudante: Javier Le´on Paredes

Ejercicios Propuestos
Problema 1. Calcular

2

1

3

yex dxdy
Problema 2. Sea g : [0, 1] −→

(1)

y
2

0

integrable. Pruebe que:
tg(t)dt

g(t)dt)dx =

(
0

1

1

1

(2)

0

x

Luego, calcular
1

1

0

y

e− x dx)dy

(3)

(x2 − y)dxdy

(4)

(
y

Problema 3. Calcular
D

siendo D la regi´on comprendidaentre las par´abolas y = −x2 , y = x2 y las rectas x = −1, x =
1.
1

2

2

1

Problema 4. Utilizar el cambio de variables
x√= u 3 v 3 , y = u 3 v 3 para hallar el ´area de
√
la regi´on R acotada por las curvas y = x, y = 2x, 3y = x2 , 4y = x2 .
Problema 5. Efectuando el cambio de variables apropiado, calcular la integral doble
(x + y)2 sin2 (x − y)dxdy

(5)

R

siendo R el cuadrado de v´ertices (0,1), (1, 2), (2, 1), (1, 0).
Problema 6. Calcular
xdxdy
D

siendo D el sector circular acotado en el primer cuadrante por y =
0, y = 0.

(6)
√

25 − x2 , 3x − 4y =

Problema 7. Calcular
(a2 x2 + b2 y 2 )dxdy

(7)

D

siendo D la regi´on encerrada en el primer cuadrante del plano XY por la elipse de semiejes
1 1
, (a, b > 0). ¿Cu´anto vale la integral extendida a toda la elipse?
a b

1

Problema 8.Determinar el a´rea de proyecci´on sobre el plano XY de la regi´on s´olida exterior
al cilindro x2 + y 2 = 4, acotada por la semiesfera z = 16 − x2 − y 2 y el plano z = 0. Use
integral doble para calcular el volumen de dicha regi´on.
Problema 9. Calcular por integraci´on doble el volumen de la regi´on tridimensional limitada
inferiormente por z =4 x2 + y 2 y superiormente por el disco x2 + y 2 ≤5, z = 4.
Problema 10. Efectuando el cambio de variables
z
y
u= 2
, v = xy, w =
2
x +y
x

(8)

calcular la integral triple de la funci´on f (x, y, z) = xyz sobre la regi´on D del primer octante
limitada por los paraboloides z = x2 + y 2 , z = 2x2 + 2y 2 , los cilindros xy = 1, xy = 4 y los
planos y = x, y = 5x.
Problema 11. Calcular
z(x2 + y 2 )dxdydz

(9)

V

siendo V el volumen exterior a lahoja superior del cono z 2 = x2 + y 2 e interior al cilindro
x2 + y 2 = 1, con z ≥ 0.
Problema 12. Utilizando integral triple, hallar el volumen del s´olido determinado por las
condiciones:
x2 + y 2 + z 2 − R2 ≤ 0; x2 + y 2 − 4a(z + a) ≥ 0; (R > a > 0)

(10)

Problema 13. Calcular la integral triple
(4x2 + 9y 2 + 36z 2 )dxdydz

(11)

V

siendo V el interior de la elipsoide 4x2 + 9y 2 + 36z 2 = 36.Problema 14. Calcular el volumen de la regi´on limitada por las superficies z = x2 + y 2
y z = 5 − y2.
Problema 15. Hallar el valor de a > 0 para que el volumen encerrado por z = a(x2 + y 2 ) y
z 2 = a2 (x2 + y 2 ), con z ≥ 0 sea igual a π.
Problema 16. Sea C el contorno del tri´angulo con v´ertices (0, 0), (1, 0), (0, 1). Calcular
la integral
(x + y)ds

(12)

C

Problema 17. Se considera la h´elicecircular C : r(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) con t ∈ [0, c].
Calcular
zds
(13)
C

2

Problema 18. Calcular la integral de l´ınea del campo vectorial F (x, y, z) = (8x+z, 2xz 2 , −4y 2 )
a lo largo de la curva definida por las ecuaciones z = 9 − 2x2 − 4y 2 , z = 1, con orientaci´on
positiva si se observa desde lo alto del eje Z.
Problema 19. Se considera el campo vectorial F (x, y) = (y 2 + 2xy,x2 + 2xy); ((x, y) ∈

2

)

a) Comprobar que F admite funci´on potencial en todo 2 y hallarla.
b) Calcular la integral de F a lo largo de cualquier curva regular a trozos que una los puntos
(0, 0) y (2, 1).
c) Calcular la circulaci´on de F a lo largo de cualquier curva cerrada regular a trozos.
Problema 20. Probar que la integral
(6x2 − y 3 )dx + (6x2 y − 3xy 2 )dy

(14)

C

es independiente delcamino que une los puntos (1, 2) y (3, 4). Hallar su valor mediante
a) un c´alculo directo.
b) una funci´on potencial.
Problema 21. Demostrar que el campo vectorial F (x, y, z) = (sin(x), y 2 , ez ) es conservativo.
Problema 22. Calcular
(x2 − yz)dx + (y 2 − xz)dy − xydz

(15)

C

a lo largo de cualquier curva uniendo el origen de coordenadas con el punto P = (1, 21 , 12 ).
Problema 23. Evaluar...