Ejercicios resueltos Cantidad de Movimiento

Ejercicios Resueltos - Cantidad de Movimiento

1. Un cilindro de radio 2.2 m es puesto sobre un canal abierto de sección rectangular. El
canal es 10 m de ancho y su caudal es de 50 m3 s-1. El agua fluye bajo el cilindro como
muestra la figura. Determine el empuje horizontal sobre el cilindro, despreciando la
fricción del fluido.

4m
1.8 m

(1)

(2)

Solución:
Dado que conocemos el caudal podemosconocer la velocidad en (1) y en (2).
Q = VA ⇒ V =

V1 =

50
= 1.25 m s −1
10(4)

Q
A

V2 =

50
= 2.78 m s −1
10(1.8)

Además la ecuación de cantidad de movimiento lineal nos dice que:

(

r

r

)

r

ρ Q V2 − V1 = ∑ FEXT
En este caso en que estamos despreciando la fricción, las fuerzas en el eje x serán sólo la
fuerza del gradiente de presión en x y la fuerza de empuje del cilindro sobre el flujode
agua.

r
F
∑ EXT =F1 − F2 − Fx

Dado que la dirección del flujo es de izquierda a derecha sabemos que hay mayor
presión en (1) que en (2). Por esto F1 tiene signo positivo y F2 tiene signo negativo.
Además, como el balance se hace sobre el fluido, Fx tiene signo negativo porque es la
fuerza que hace el cilindro sobre el fluido.
Entonces nos queda:

F1 − F2 − Fx = ρQ(V2 x − V1x )
Y las fuerzasF1 y F2 se deben a la presión:

P1 A1 − P2 A2 − Fx = ρQ(V2 x − V1x )
1000 ⋅ 9.8 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅10 − 1000 ⋅ 9.8 ⋅ 0.9 ⋅1.8 ⋅10 − Fx = 1000 ⋅ 50 ⋅ (2.78 − 1.25)
784000 − 158760 − Fx = 76500
Fx = 548740 N

La fuerza que hace el cilindro sobre el fluido es 5.5⋅105 N hacia la izquierda, entonces la
fuerza que hace el fluido sobre el cilindro es 5.5⋅105 N hacia la derecha.

2. Encuentre el empuje horizontalque ejerce el agua sobre cada metro de ancho de la
puerta mostrada en la figura, dado y1= 2.2 m, y2=0.4 m e y3=0.5 m. Desprecie la
fricción.

Solución:
Vamos a definir q como el caudal por unidad de ancho.
Q = VA ⇒ q = Vh ⇒ V =
V1 =

q
2 .2

V2 =

q
h

q
0 .4

Para conocer el caudal podemos ocupar la ecuación de Bernoulli.
p1

γ

+

V12
p
V2
+ z1 = 2 + 2 + z 2
2g
γ
2g

Al evaluar esta ecuación enla superficie se cancelan las presiones, ya que en ambos
lados corresponde a la presión atmosférica y reemplazando en las velocidades nos
queda:
2

2

⎛⎜ q
⎞⎟
⎛⎜ q
⎞⎟
⎝ 2 .2 ⎠ + 2 .2 = ⎝ 0 .4 ⎠ + 0 .4
2g
2g
2 -1
Por lo tanto, q = 2.42 m s y luego podemos calcular fácilmente V1 = 1.1 m s-1 y V2 =
6.05 m s-1.

Ahora, al igual que en el ejercicio anterior ocupamos la ecuación de cantidad demovimiento lineal:
r r
r

(

)

ρ Q V2 − V1 = ∑ FEXT

Dado que estamos despreciando la fricción, las fuerzas en el eje x serán sólo la fuerza
del gradiente de presión en x y la fuerza de empuje de la puerta sobre el flujo de agua.

r
F
∑ EXT =F1 − F2 − Fx

F1 − F2 − Fx = ρQ(V2 x − V1x )
Y las fuerzas F1 y F2 se deben a la presión:

P1 A1 − P2 A2 + Fx = ρQ(V2 x − V1x )
1000 ⋅ 9.8 ⋅1.1⋅ 2.2 − 1000 ⋅ 9.8 ⋅0.2 ⋅ 0.4 − Fx = 1000 ⋅ 2.42 ⋅ (6.05 − 1.1)
23716 − 784 − Fx = 11979
Fx = 10953Nm −1
La fuerza que hace la puerta sobre el fluido es 1.1⋅103 Nm-1 hacia la izquierda, entonces
la fuerza que hace el fluido sobre la puerta es 1.1⋅102 Nm-1 hacia la derecha.

3. En la figura los inyectores (2) y (3) descargan agua horizontalmente a la atmósfera a 30
ms-1. Encuentre el ángulo θ para que la fuerzaresultante actúe sólo sobre el eje de la
unidad (1).
4 m de diámetro

(2)

8 m de diámetro
6 m de diámetro

(1)

(3)

Solución:
La sumatoria de fuerzas debe ser igual a cero en el eje y, de tal forma que la fuerza
resultante actúe sólo en el eje x.
En este caso los caudales NO son iguales por lo tanto para el eje y queda:

ρQ2V2 y − ρQ3V3 y = ∑ Fy
No se considera la sección (1), ya que no tienecomponente en el eje y.
Los caudales son:
Q = VA ⇒ Q1 = 30π 2 2 = 377 m 3 s -1 y

Entonces queda:

Q 2 = 30π 3 2 = 848 .23m 3 s −1

ρQ2V2 − ρQ3V3 = ∑ Fy
1000 ⋅ 848.23 ⋅ 30 ⋅ sen(25) − 1000 ⋅ 377 ⋅ 30 ⋅ sen(θ ) = 0
senθ = 0.95

θ = 72°
4. Agua bajo una presión de 350 kPa fluye con una velocidad de 5 ms-1 a través de un tubo
de 250 mm de diámetro como muestra la figura. El tubo se encuentra en una...