Ejercicios resueltos condensadores

Ejemplo sobre condensadores 1 Un sistema está compuesto por condensadores en paralelo conectados a una batería de 12V. Los condensadores tienen unas capacidades C 2 = 10µF . Se desconecta el C1 = 47µF y sistema de la batería y a continuación se unen los dos condensadores conectando placas de diferente polaridad, tal y como indica la figura. Calcular: a) La carga almacenada en cada condensadorcuando están en paralelo con la batería. b) La carga de cada condensador y la diferencia de potencial en el sistema de condensadores tras conectar las placas de diferente polaridad. Solución a) La carga almacenada en cada condensador es: Q1 = C1 (V − V ´)1 = 47 ⋅10 −6 F ∗12 V = 564 ⋅10 −6 C = 564 µC => Q1 = 5,6 ⋅10 2 µC
Q2 = C 2 (V − V ´)2 = 10 ⋅10 −6 F ∗12V = 120 ⋅10 −6 C = 120 µC => Q2 = 1,2 ⋅10 2µC

b) Cuando se conectan los condensadores uniendo placas de diferente polaridad, la carga libre almacenada en las armaduras del condensador se redistribuirá de forma que la nueva diferencia de potencial del sistema sea la misma una vez alcanzado el equilibrio electrostático. La carga total QT que queda en el sistema formado por los dos condensadores es la diferencia Q1 − Q2 .

QT = Q1 − Q2= 564 ⋅10 −6 C − 120 ⋅10 −6 C = 444 ⋅10 −6 C = 444 µC
Por tanto, si denominamos Q1 ' y Q2 ' a las nuevas cargas almacenadas en cada condensador, se debe cumplir : Q1 '+Q2 ' = QT = 444 ⋅10 −6 C

Por otro lado, la caída de potencial debe ser la misma en ambos condensadores: (V − V ´)′1 = Q1 ' ; (V − V ´)′ 2 = Q2 ' => (V − V ´)′1 = (V − V ´)′ 2 => Q1 ' = Q2 ' C1 C 2 C1 C2 Q1 ' Q2 ' = −6 47 ⋅10 F10 ⋅10 −6 F
Sustituyendo Q1 ' en función de Q2 ' , se obtiene :
444 ⋅10 −6 C − Q2 ' Q2 ' = −6 47 ⋅10 F 10 ⋅10 −6 F Q2 ' Q2 ' 444 ⋅10 −6 C = + −6 −6 47 ⋅10 F 10 ⋅10 F 47 ⋅10 −6 F

=>

Q´2 =

444 ⋅ 10 −6 C 444 ⋅ 10 −6 C = 47 1 1   +1 47 ⋅ 10 − 6 F  + −6 −6 10 10 ⋅ 10 F 47 ⋅ 10 F  

Q2 ' =

444 ⋅10 −6 C = 77,8 ⋅10 −6 C 5,7

Q2 ' = 77,8µC

Y por lo tanto : Q1 ' = 444 ⋅10 −6 C −Q2 ' = 444 ⋅10 −6 C − 77,8 ⋅10 −6 C = 366,2 ⋅10 −6 C Q1 '= 3,6.10 2 µC Ahora se puede calcular la diferencia de potencial del sistema una vez alcanzado el equilibrio: −6 (V − V ´)´1 = Q1 ' = 366,2 ⋅106 C = 7,79 V (V − V ´)´1 = 7,8 V C1 47 ⋅10 − F −6 (V − V ´)´2 = Q2 ' = 77,8 ⋅106 C = 7,78 V (V − V ´)´2 = 7,8 V C2 10 ⋅10 − F

Ejemplo sobre condensadores 2

Un condensador plano paralelo tieneuna capacidad C 0 = 4,7nF y 0,40 mm de separación entre placas. Se encuentra conectado a una batería de 36 V. Determinar: a) El área de las armaduras del condensador si entre ellas hay aire. b) El campo eléctrico E0 , establecido entre las armaduras. c) La carga Q0 almacenada en el condensador. A continuación, sin desconectar de la batería, se introduce, equidistante a ambas armaduras, una lamina deneopreno ( ε r =7,0) de área idéntica a las armaduras y de 0,30 mm de espesor. Calcular: d) La capacidad equivalente del sistema así formado. e) Las cargas Q y QL almacenadas en las armaduras y dieléctrico respectivamente. f) Los campos eléctricos en las zonas con aire y con dieléctrico. g) La energía almacenada en este condensador y la densidad de energía en el aire y en el dieléctrico. h) Lacaída de potencial en el dieléctrico. i) El módulo del vector polarización en el dieléctrico.
Solución

a) Área de las armaduras:
S C0 = ε 0 d

=>

S=

C0 d

ε0

2 4,7.10 F ⋅ 0,40 ⋅ 10 m = = 0,212 m −12 F 8,85 ⋅ 10 m

−9

−3

b) El campo eléctrico en el condensador es : 4 V 36 V (V − V ' ) V E0 = = = 9,0 ⋅10 = 90 −3 d m mm 0,40 ⋅ 10 m

c) La carga almacenada en el condensador :Q0 = C 0 (V − V ' ) = 4,7 ⋅ 10 F ⋅ 36 V = 169 ⋅10 C = 0,17 µC d) El sistema del condensador con el dieléctrico se reduce a tres condensadores en serie que denominaremos C1 ,C 2 y C 3 . S S S C1 = ε 0 C2 = ε r ε 0 C3 = ε 0 d1 d2 d3 donde d1 = d 3 = 0,050 mm y d 2 = 0,30 mm 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + ε S ε 0S C eq C1 C 2 C 3 ε 0 S εr 0 d1 d2 d1
−9 −9

 d2 1 1  1  ε r 2 d1 + d 2  =  d1 + +...