ejercicios resueltos de Algebra Lineal

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.UNIVERSIDAD ADOLFO IBANEZ
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.Algebra II
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Pauta Control 1
Agosto de 2014

1. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres
hoteles, H1 , H2 y H3 . La familia A necesita dos habitaciones dobles y una individual,
la familia B necesita tres habitacionesdobles y una individual, la familia C necesita
1 habitaci´n doble y dos individuales. En el hotel H1 , el precio de la habitaci´n
o
o
doble es de 84 d´lares diarios y el de la habitaci´n individual 45 d´lares diarios,
o
o
o
el hotel H2 , tiene precios para la habitaci´n doble de 86 d´lares diarios y para la
o
o
habitaci´n individual de 43 d´lares diarios, finalmente los valores de lahabitaci´n
o
o
o
doble e individual de H3 , son 85 y 44 d´lares por d´ respectivamente.
o
ıa
a) Escribir en forma de matriz el n´mero de habitaciones (dobles o sencillas) que
u
necesita cada una de las tres familias.
Soluci´n
o
Si D = (dij )3×2 donde dij denota la cantidad de habitaciones del tipo j demandadas por la familia i se tiene


2 1
D = 3 1
1 2
Criterios de correcci´n
o
-Si se representa adecuadamente la data ya sea por D o Dt asignar 5 puntos
b) Expresar matricialmente el precio de cada tipo de habitaci´n en cada uno de
o
los tres hoteles.
Soluci´n
o
Sea P = (pij )2×3 donde pij denota el precio en el hotel j de la habitaci´n tipo
o
i entonces
P =

84 86 85
45 43 44

Criterios de correcci´n
o
- Si se representa adecuadamente la data ya sea por P oP t asignar 5 puntos

1

c) Obtener, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje
el gasto diario por concepto de alojamiento que tendr´ cada una de las tres
ıa
familias en cada uno de los tres hoteles.
Soluci´n
o




2 1
213 215 214
84 86 85
DP = 3 1
= 297 301 299
45 43 44
1 2
174 172 173
Criterios de correcci´n
o
- Si se utilizaadecuadamente la multiplicaci´n para determinar lo pedido asigo
nar 10 puntos.

2

2. En una ciudad existen dos empresas E1 y E2 que prestan servicios de electricidad. Al
final del mes de enero de 2014 la empresa E1 ten´ el 35 % del mercado y la empresa
ıa
E2 el 65 %. Si la empresa E1 retiene de un mes a otro el 45 % de sus clientes y la
empresa E2 s´lo el 30 % y si se supone que esta tendenciase mantiene en el tiempo,
o
determine

a) La matriz de transici´n de esta cadena de Markov.
o
Soluci´n
o

P =

0,45 0,7
0,55 0,3

Criterios de correcci´n
o
- Por determinar la matriz de transici´n asignar 6 puntos
o
b) La distribuci´n de clientes al final del mes de Marzo de 2014.
o
Soluci´n
o
Si V0 =

0,35
denota al distribuci´n de clientes a finales de Enero de 2014 y
o0,65

VK la distribuci´n de clientes pasado k meses a partir del final de Enero de
o
2014, la distribuci´n de clientes al final de Marzo de 2014 est´ dada por:
o
a
V2 = P 2 V0

V2 =

0,5875 0,525
0,4125 0,475

0,35
0,5469
=
0,65
0,4531

0,55
0,45

A finales de Marzo de 2014 , la empresa E1 tendr´ aproximadamente el 55 %
a
del mercado y E2 el 45 % del mercado.
Criterios decorrecci´n
o
- Por determinar P 2 asignar 3 puntos
- Por encontrar V2 asignar 2 puntos
- Por interpretar el resultado 2 punto

3

c) ¿Cu´l ser´ la distribuci´n del mercado a largo plazo?
a
a
o
Soluci´n
o
Si X =

a
es la distribuci´n estable, entonces
o
b
PX = X

o equivalentemente
(P − I2 )X = 0
Como
P − I2 =

0,45 0,7
1 0
−0,55 0,7
−
=
0,55 0,3
0 1
0,55 −0,7se obtiene
−0,55 0,7
0,55 −0,7
de donde a =
tiene

14
b.
11

−0,55a + 0,77b = 0
0,55a − 0,77b = 0

a
0
=
⇔
b
0

Puesto que X es un vector de probabilidad, a + b = 1 se
b=

11
= 0, 44
25
X=

a=

14
= 0, 56
25

0, 44
0, 56

A largo plazo E1 tendr´ el 44 % del mercado y E2 el 56 % del mercado.
a
Criterios de correcci´n
o
-

Por
Por
Por
Por
Por
Por...