Ejercicios resueltos de algebra

Elvira Hern´andez Garc´ıa

Curso 0 Matem´aticas

´
Algebra
y Geometr´ıa
Prof. Elvira Hern´andez Garc´ıa
Departamento de Matem´atica Aplicada I
ETSI Industriales

1

´Indice general
1.
2.
3.

4.

Introducci´on y objetivos . . . . . . . . . . . . .
1.1.
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prueba de autodiagn´ostico . . . . . . . . . . . .
Contenidos . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
3.1.
Ficha 1: Matrices . . . . . . . . . . . . .
3.2.
Ficha 2: Determinantes . . . . . . . . . .
3.3.
Ficha 3: Polinomios . . . . . . . . . . . .
3.4.
Ficha 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
3.5.
Ficha 5: Vectores, Rectas y Planos . . .
3.6.
Ficha 6: C´onicas . . . . . . . . . . . . .
Prueba de autoevaluaci´on . . . . . . . . . . . .
Bibliograf´ıa . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
´Indice alfab´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

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8
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63

Elvira Hern´andez Garc´ıa

1.

Curso 0 Matem´aticas

Introducci´
on y objetivos

´
El Algebra
estudia estructuras, relaciones y cantidades y es
una rama principal de las Matem´aticas. La Geometr´ıaestudia
abstracciones del espacio como son: puntos, rectas, planos, curvas, superficies, etc.
Los temas de este bloque, presentados de forma esquem´
atica y sint´
etica, son muy relevantes en el estudio de cualquier
materia de primer curso de Escuelas de Ingenier´ıa y Facultades de Ciencias. Dicho bloque pretende recopilar de forma resumida los principales conceptos y t´ecnicas fundamentales del´
Algebra
Lineal B´asica con el fin de proporcionar un material de
´
apoyo para afrontar cualquier otro estudio superior de Algebra.
Los temas relativos a Geometr´ıa son muy puntuales y se pueden
complementar con otros bloques.
Al final del bloque se presentan varios medios bibliogr´aficos,
considerados de f´acil manejo para profundizar o ampliar los conceptos presentados y otros no se˜nalados por problemas de espacio.
1.1. Objetivos
En este bloque de contenidos se pretende por un lado y de
forma espec´ıfica:
promover la formaci´on b´asica en ´algebra lineal,
reconocer y fijar los objetos algebraicos fundamentales,
proporcionar algoritmos y m´etodos de resoluci´on b´asicos,
recordar ciertos conceptos geom´etricos,
y, por otro lado, de forma m´as general:

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ElviraHern´andez Garc´ıa

Curso 0 Matem´aticas

familiarizar al estudiante con el lenguaje matem´atico y el
aparato l´ogico-formal-deductivo,
utilizar el formalismo matem´atico,
adquirir fundamentos para enfrentarse al estudio de cualquier asignatura de matem´aticas.
Versi´on: Octubre 2012.
Elvira Hern´andez Garc´ıa
ehernandez@ind.uned.es

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Elvira Hern´andez Garc´ıa

2.

Curso 0Matem´aticas

Prueba de autodiagn´
ostico

Haga el test siguiente de Verdadero o Falso para saber el nivel
de conocimientos que tiene en este bloque.

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Elvira Hern´andez Garc´ıa

Curso 0 Matem´aticas




1 6 7
2 1 5 
= Verdadero Falso
2 2 4
3 2 4
3 5 1
19 24 23
19 31 29
Sean A y B matrices cuadradas del mismo Verdadero Falso
orden, entonces: (A+B)2 = A2 +B 2 +2ABSiempre existe el determinante de una ma- Verdadero Falso
triz
Verdadero Falso
x2 + 4x + 4
=x−2
x2 − 4



2 1 0
2 3 2

El rango de la matriz 
 1 1 2  es 3
8 8 4
El sistema x + y − z = 1; x + 2y − z = 0;
x − y − z = 1 es compatible indeterminado
La ecuaci´on x2 + y 2 + 2x = 4 define una
circunferencia
El vector (−1, −2, −1) es perpendicular al
plano definido por x + 2y + z= 1

Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso

4x + 4
2
2x + 4
+
=
.
4x2 − 36 2x − 6 (x − 3)(x + 3)
x2 − y 2 = 0 define una hip´erbola y y 2 = x Verdadero Falso
una par´abola

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Curso 0 Matem´aticas

Si ha tenido muchas dificultades y el n´
umero de respuestas
correctas no le parece aceptable, debe hacer de...