EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE
UNA VARIABLE REAL

Ejercicio nº 1.Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:
f (x) = 2x2 + 5x

Solución:

f ' (2) = lím
h →0

= lím
h →0

2 (2 + h ) 2 + 5 (2 + h ) − 18
2 ( 4 + 4h + h 2 ) + 10 + 5h − 18
f ( 2 + h ) − f ( 2)
= lím
= lím
=
h →0
h →0
h
h
h
8 + 8h + 2h 2 + 10 + 5h − 18
2h 2 + 13hh(2h + 13 )
= lím
= lím
= lím ( 2h + 13 ) = 13
h →0
h →0
h →0
h
h
h

Ejercicio nº 2.Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) = 4x3 - 2x + 1 que son paralelas a la
recta y = 10x + 2.

Solución:
• Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:
f '(x) = 10
⎧ x = −1
f ' (x ) = 12 x 2 − 2 = 10 → 12 x 2 = 12 → x 2 = 1 → ⎨⎩x = 1

• Ordenadas en los puntos:
f (-1) = -1; f (1) = 3
• Ecuaciones de las rectas tangentes:

- En x = -1 → y = -1 + 10 (x + 1) → y = 10x + 9
- En x = 1 → y = 3 + 10 (x - 1) → y = 10x - 7

Ejercicio nº 3.Considera la función:
f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1
a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.
b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Solución:

a)f '(x) = 6x2 + 18x + 12
f '(x) = 0 → 6 (x2 + 3x + 2) = 0
x=

⎧ x = −1
− 3 ± 9 − 8 − 3 ±1
=
→ ⎨
2
2
⎩ x = −2

• Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (-∞, -2) ∪ (-1, +∞); es decreciente en (-2, -1). Tiene un máximo en (-2, -3) y
un mínimo en (-1, -4).

b) f ''(x) = 12x +18
f ' ' (x ) = 0 → 12 x + 18 = 0 → x =

−18 −3
=
12
2

• Signo de f ''(x):

−3⎞
⎞
⎛−3
⎛
f (x )es cóncava en ⎜ − ∞,
, + ∞ ⎟ . Tiene un punto de
⎟ ; es convexa en ⎜
2 ⎠
⎠
⎝ 2
⎝

⎛−3 −7⎞
inflexión en ⎜
,
⎟.
2 ⎠
⎝ 2

Ejercicio nº 4.Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x -2)2 (x + 1)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Solución:
• Derivada:
f '(x) = 2 (x - 2) (x + 1) + (x - 2)2 = (x - 2) [2 (x + 1) + x - 2] =

= (x- 2) (2x + 2 + x - 2) = 3x (x - 2) = 3x2 - 6x
⎧x = 0
f ' (x ) = 0 → 3 x (x − 2 ) = 0 → ⎨
⎩x = 2

• Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (-∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un
mínimo en (2, 0).
• Segunda derivada:
f ''(x) = 6x - 6
f ''(x) = 0 → 6x - 6 = 0 → x = 1

• Signo de f ''(x):

f (x) es cóncava en (-∞, 1); es convexa en (1, + ∞ ). Tieneun punto de inflexión en
(1, 2).

Ejercicio nº 5.Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de
200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el
coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene
el heladero? ¿Cual será ese beneficio?Solución:

Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 + x
céntimos; y venderá 200 - 2x helados diarios.
Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:
I (x) = (50 + x) (200 - 2x)

Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40
Luego, el beneficio será de:
B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 = (200 - 2x)(50 + x - 40) =

= (200 - 2x) (x + 10) = -2x2 + 180x + 2 000
Hallamos x para que el beneficio sea máximo:
B '(x) = -4x + 180
B '(x) = 0 → -4x + 180 = 0 → x = 45
B ''(x) = -4; B ''(45) < 0 → en x = 45 hay un máximo

Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este
caso, el beneficio sería de B (45) = 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.Ejercicio nº 6.Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y =
Solución:
• Ordenada en el punto:

y (− 2) = 16 = 4
• Pendiente de la recta:
y'=

1
2 x − 3x + 6
2

y ' (− 2 ) =

· (2 x − 3 ) =

2x − 3
2 x 2 − 3x + 6

−7
8

• Ecuación de la recta:
y = 4−

7
(x + 2) → y = −7 x + 9
8
4
8

x 2 − 3 x + 6 en x 0 = −2.

Ejercicio nº 7.Halla los intervalos de...