Ejercicios Resueltos De Determinantes
(Determinantes)
1.-
Determinar los valores de a y b para que la matriz A sea regular, siendo:
⎛0
⎜
b
A=⎜
⎜a
⎜
⎝0
a
0
1
1
b
1
2
3
0⎞
⎟
1⎟
2⎟
⎟
3⎠
Solución:Para que la matriz A sea regular es preciso que su rango sea 4, es decir, que su
determinante no sea nulo. Sumando, por ejemplo, a la segunda fila la tercera multiplicada por
−b / a , es decir, F2 −
bF3 → F2 :
a
0
b
det ( A ) =
a
0
a
0
1
1
b
1
2
3
0 a
b
0
0
b
b
b
1 0 −
1− 2
1− 2
=
a
a
a
2
2
2
a 1
3
0 1
3
3
y desarrollando por los adjuntos de la primera columna y aplicando luego la regla deSarrus:
a
b
0
a
b
0
b
b
b
det ( A ) = a −
1− 2
1 − 2 = −b a − 2b a − 2b =
a
a
a
1
3
3
1
3
3
= 3a ( a − 2b ) + b ( a − 2b ) + 3b 2 − 3a ( a − 2b ) = b ( a + b )
Por tanto, para b = 0 y para b = –a,det(A) = 0 y la matriz A es singular.
2.-
Calcular, indicando todas las operaciones realizadas, el determinante de la matriz:
⎛4
⎜
1
A=⎜
⎜2
⎜
⎝4
1
3
1
0
3
1
1
2
2⎞
⎟
0⎟
3⎟
⎟
3⎠
Solución:
4
1
32
11
1
1
−
0
4
4
2
det( A) =
1
1
−
0
2
2
2
0 −1 −1
1
1
− F1 + F2 → F2
4
1
− F1 + F3 → F3
2
− F1 + F4 → F4
Desarrollando por los adjuntos de la primera columna y luego por la regla de Sarrus:
11
1
1−
4
4
2
1
1
−
det( A ) = 4 ⋅
2=
2
2
−1 −1
1
⎡⎛ 11 1
1
1 1⎞ ⎛ 1 1
1 1
11
⎞⎤
4 ⎢⎜ − ⋅ ⋅1 − ⋅ 2 ⋅1 + ⋅1 ⋅ ⎟ − ⎜ − ⋅ ⋅1 + ⋅ ⋅1 − ⋅1⋅ 2 ⎟ ⎥ = 16
4
2 2⎠ ⎝ 2 2
4 2
4
⎠⎦
⎣⎝ 4 2
3.-
Calcular, indicando todaslas operaciones realizadas, el determinante de la matriz:
⎛ 1+ a
⎜
1 + 2a
A=⎜
⎜ 1 + 4a
⎜
⎝ 1 + 8a
2
1
2
1
3
0
4
0
2⎞
⎟
2⎟
1⎟
⎟
1⎠
Solución:
1+ a
det( A ) = D =
2 3 2
1 + 2a 1 0 2
1 + 4a 2 4 1
1+ 8a 1 0 1
F2 − F1 → F2
F3 − F1 → F3
F4 − F1 → F4
1 2 3 2
=
1 1 0 2
1 2 4 1
a
+
2 3 2
2a 1 0 2
4a 2 4 1
= D1 + D2
1 1 0 1 8a 1 0 1
D1
D2
1 2 3 2
0 −1 −3 0
D1 =
;
0 0 1 −10 −1 −3 −1 F4 − F2
→ F4
1 2 3 2
0 −1 −3 0
D1 =
=1
0 0 1 −1
0 0 0 −1
2
a
3
2
−3 −6 −2
0 −3 −6 −2
D2 =
= a −6 −8 −7 =
0 −6 −8 −7
−15 −24 −15
0 −15 −24 −15
F2 − 2 F1 → F2
F3 − 4 F1 → F3
F4 −...
Regístrate para leer el documento completo.