Ejercicios resueltos de Estadistica

UNIDAD 2
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD


Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales. Por lo tanto, no es posible conocer su valor exacto.

Si la variable aleatoria es discreta, pero el rango es muy amplio, resulta más conveniente utilizar un modelo basado en variables aleatorias continuas.

Si la variable escontinua, resulta imposible describir su distribución de la manera que se explicó anteriormente; en este caso, es necesario desarrollar una función en donde aparezca X, de tal forma que la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo demarcado por su rango sea igual al área bajo f(x) entre esos límites; lo anterior implica una integración.

Dicha función es denominada función de densidadde probabilidad de X y cumple lo siguiente:

a)
b)

c) f(x) ≥ 0

d) P(X = x) = 0
Esta última propiedad podría describirse así: La probabilidad que un modelo de variable continua asigna a la observación de un valor exacto (es decir, medido con infinita precisión) es cero.

La función de densidad podría mirarse como un modelo de la curva límite que obtendríamos en el histograma deuna población disminuyendo indefinidamente las anchuras de cada clase.

f(x) es más general que un histograma. Trata de reflejar no el comportamiento de una muestra concreta, sino la estructura de los valores de la variable a largo plazo; además, es más operativa.






EJEMPLO 2.1.
El error en la temperatura de reacción, en grados centígrados, para un experimento de laboratorio controladoes una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:


a) Verifique la propiedad a.
b) Encuentre la probabilidad de que X tome un valor entre 0 y 1.


Solución:

a)

b) P(0 < x < 1) =



Según la definición de función acumulada dada anteriormente, la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X es:



Porlo tanto, la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua puede calcularse a partir de la función de distribución acumulada mediante derivación. Es decir,



EJEMPLO 2.2.
El tiempo necesario, en milisegundos, para completar una reacción química está aproximado por la siguiente función de distribución acumulada:



Calcule la función de densidad de probabilidad deX. ¿Qué proporción de las reacciones están completas en 200 milisegundos?

Solución:

Al derivar:

P(x < 200) = F(200) = 1 – e-2 = 0.8647



MODELOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS

1. Distribución uniforme continua:

Se caracteriza porque la probabilidad es constante en un intervalo cerrado y, por lo tanto, su función de densidad es plana.

Su función de densidad está dada por:Su media es:

y su varianza es:


EJEMPLO 2.3.
X es una variable aleatoria que representa la corriente, medida en miliamperes, en un alambre delgado de cobre. El rango de X es [0,20 mA] y su función de densidad de probabilidad es f(x) = 0.05.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de corriente esté entre 5 y 10 mA?
b) ¿Cuáles son su media y desviación estándar?Solución:





2. Distribución normal:
Es la distribución de probabilidades más empleada para modelar experimentos aleatorios porque describe ajustadamente muchos fenómenos naturales, industriales e investigativos; además, los errores en mediciones científicas se aproximan bien mediante la distribución normal.

La ecuación que describe una variable aleatoria normal X, con media µ y desviaciónestándar σ es:


La distribución normal presenta las siguientes características:
1. Su gráfica tiene forma de campana.
2. El punto más alto de la curva normal es la media, que también es la mediana y la moda de la distribución.
3. El área total bajo la curva es 1.
4. La curva es simétrica alrededor de la media; por lo tanto, el área a la izquierda de la media es 0.5 e igual a su derecha....