Ejercicios resueltos de sumatoria

SUMATORIA, ANALISIS COMBINATORIO, PROGRESIONES Y BINOMIO DE NEWTON
1.- Evalúe la suma:
'

Solución:

3œ" '

! Š 3#  & ‹ ! Š 3#  & ‹ ! Š 3#  & ‹
3 ' 3 3

3œ"

! Š 3#  & ‹
' 3

œ

"#  & ##  & $#  & %#  & &#  & '#  &  #  $  %  &  ' " ' * "% #" $! %" "  #  $  %  &  ' "$$ %

Ê

œ

3œ" '

Ê

œ

3œ"

2.- Evalúe la suma:

5œ!

! Š&  $5‹
Š&  $ † !‹  Š&  $ † " ‹  Š&  $ † # ‹  Š&  $ † $ ‹  Š&  $ † % ‹  Š&  $ † & ‹  Š&  $ † ' ‹

Solución:

5œ! '

! Š&  $5‹
'

œ

Ê

5œ! '

! Š&  $5‹ ! Š&  $5‹
(

œ

&  #  Š  "‹  Š  %‹  Š  (‹  Š  "!‹  Š  "$‹  #)

Ê

œ

5œ!

3.- Evalúe la expresión: Solución:

4œ"

! Ð4#  #4  $Ñ
3œ'

! Ð3  &Ñ#
"!

1

4œ"

! Ð4#  #4  $Ñ
( 3œ'

! Ð3 &Ñ#
"!

œ

Ð"#  #†"  $ÑÐ##  #†#  $ÑÐ$#  #†$  $ÑÐ%#  #†%  $Ñ "#  ##  $# %#  &# Ð&#  #†&  $Ñ Ð'#  #†'  $ÑÐ(#  #†(  $Ñ "#  ##  $# %#  &#

Ê

4œ"

! Ð4#  #4  $Ñ
( 3œ'



Ê

4œ"

! Ð4#  #4  $Ñ
( 3œ'

! Ð3  &Ñ#
"!

œ

#  $  '  ""  ")  #(  $) "  %  *  "'  #&

Ê

4œ"

! Ð4#  #4  $Ñ
( 3œ'

! Ð3  &Ñ#
"!

œ

"!& &&

! Ð3 &Ñ#
"! (

œ

#" ""

4.- Evalúe la expresión: Solución:

5œ"

! Ð5 #  #5  "Ñ
4œ$

! Ð4  $Ñ#
*

5œ"

! Ð5 #  #5  "Ñ
( 4œ$

! Ð4  $Ñ#
*

œ

Ð"#  #†"  "ÑÐ##  #†#  "ÑÐ$#  #†$  "ÑÐ%#  #†%  "Ñ !#  "#  ##  $# %#  &#  '# Ð&#  #†&  "Ñ Ð'#  #†'  "ÑÐ(#  #†(  "Ñ !#  "#  ##  $# %#  &#  '#

Ê

5œ"

! Ð5 #  #5  "Ñ
( 4œ$

œ œ



Ê5œ"

! Ð5 #  #5  "Ñ
( 4œ$

! Ð4  $Ñ#
*

! "  %  *  "'  #&  $' ! "  %  *  "'  #&  $'

Ê

5œ"

! Ð5 #  #5  "Ñ
( 4œ$

! Ð4  $Ñ#
*

œ

*" *"

! Ð4  $Ñ#
*

œ

"

2

Otra forma es:

5œ"

! Ð5 #  #5  "Ñ
( 4œ$

Ê

5œ"

! Ð5 #  #5  "Ñ
( 4œ$

! Ð4  $Ñ#
*

œ

5œ" *

! Ð5  "Ñ#
(

4œ$ (

Ê
&

5œ"

! Ð5 #  #5  "Ñ
( 4œ$! Ð4  $Ñ#
*

œ

5œ" (

! Ð5  "Ñ#
3œ"

! Ð4  $Ñ#

! Ð3  "Ñ#

5.- Evalúe las sumas: a)

5œ# &

! Š 5#  % ‹
5

! Ð4  $Ñ#
*

œ

"

Š4&‹x b) !

"#

4œ( Š4(‹x

Solución: a)

5œ# &

! Š 5#  % ‹ ! Š 5#  % ‹ ! Š 5#  % ‹
5
Š4(‹x

5

œ

##  % $#  % %#  % &#  %  $  %  & # ! & "# #" #  $  %  & "$$ "&

Ê

5œ# &

5

œ

Ê

œ

b)4œ(

!

5œ# "# Š4&‹x

œ

Š(&‹x

Š""&‹x

Š((‹x



Š)&‹x

Š)(‹x



Š*&‹x

Ê

Ê

4œ( "# Š4&‹x 4œ( "# Š4&‹x

! Š4&‹x
"#

Š""(‹x



Š"#&‹x

Š*(‹x



Š"!&‹x

Š"!(‹x



Š"#(‹x

! !
%

Š4(‹x

œ

#x !x

 $x  %x  &x  'x  (x "x #x $x %x &x

Š4(‹x

œ

#  '  "#  #!  $!  %#

Ê

4œ( Š4(‹x
(

œ

""#6.- Verifique que Solución:

3œ" 4œ$

! ! Ð3#  $4Ñ œ ! ! Ð3#  $4Ñ .
( % 4œ$ 3œ"

3

3œ" 4œ$

! ! Ð3#  $4Ñ
% (

œ ! ’Ð3#  *Ñ  Ð3#  "#Ñ  Ð3#  "&Ñ  Ð3#  ")Ñ  Ð3#  #"Ñ“
%

œ ! Ð&3#  (&Ñ
3œ"

3œ" %

œ Ð  (!Ñ  Ð  &&Ñ  Ð  $!Ñ  Ð&Ñ œ  "&!. ! ! Ð3#  $4Ñ
( %

4œ$ 3œ"

œ ! ’Ð"  $4Ñ  Ð%  $4Ñ  Ð*  $4Ñ  Ð"'  $4ÑÑ“
(

œ ! Ð$!  "#4Ñ
4œ$

4œ$ (

œ Ð 'Ñ  Ð  ")Ñ  Ð  $!Ñ  Ð  %#Ñ  Ð  &%Ñ œ  "&!. 7.-Verifique que Solución: ! ! Ð3#  $4Ñ œ ! ! Ð3#  $4Ñ .
& ) ) & 4œ% 3œ"

3œ" 4œ%

3œ" 4œ%

! ! Ð3#  $4Ñ
& )

œ ! ’Ð3#  "#Ñ  Ð3#  "&Ñ  Ð3#  ")Ñ  Ð3#  #"Ñ  Ð3#  #%Ñ“
&

œ ! Ð&3#  *!Ñ
3œ"

3œ" &

œ Ð  )&Ñ  Ð  (!Ñ  Ð  %&Ñ  Ð  "!Ñ  Ð$&Ñ œ  "(&. ! ! Ð3#  $4Ñ
) &

4œ% 3œ"

œ ! ’Ð"  $4Ñ  Ð%  $4Ñ  Ð* $4Ñ  Ð"'  $4Ñ  Ð#&  $4Ñ“
)

œ ! Ð&&  "&4Ñ
4œ%

4œ% )

Luego ! ! Ð3#  $4Ñ œ ! ! Ð3#  $4Ñ .
& ) ) & 3œ" 4œ% 4œ% 3œ"

œ Ð  &Ñ  Ð  #!Ñ  Ð  $&Ñ  Ð  &!Ñ  Ð  '&Ñ œ  "(&.

8.- Determine el valor entero positivo de + para que Solución:

!Ð#5  "Ñ œ %$#.
#" 5œ+

4

Ê
#"

Ê Ê Ê Ê Ê

#!5  !"  Ð# ! 5  ! "Ñ
5œ" #" 5œ" +" 5œ" +" 5œ" 5œ" 5œ"

!Ð#5  "Ñ  ! Ð#5...