Ejercicios resueltos. Ecuaciones

Solucionario

4

Ecuaciones y sistemas
ACTIVIDADES INICIALES

2
1
4.I. Comprueba si las siguientes ecuaciones tienen como soluciones x ‫ ,2؊ ؍‬x ‫ ,—— ؍‬x ‫.——؊ ؍‬
3
4
؊4 ؉ 20x ؊ x 2
5
b) ͙ෆ ؉ x ‫—— ؍‬
2 ؊ x
a) 12x 2 ‫—— ؍‬
x ؉1
4

a)

Ά

Ά
Ά
b)

12 и (Ϫ2)2 ϭ 48
Ϫ4 ϩ 20 и (Ϫ2) Ϫ (Ϫ2)2
Ϫ4 Ϫ 40 Ϫ 4
ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
Ϫ2 ϩ 1
Ϫ1 ϭ 48

΂ ΃

2
12 и ᎏᎏ
3

2

⇒ x ϭ Ϫ2 essolución.

4
16
ϭ 12 и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
9
3
2
⇒ x ϭ ᎏᎏ es solución.
3

΂ ΃ ΂ ΃

2
2 2
40
4
Ϫ4 ϩ 20 и ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
Ϫ4 ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
3
3
13
3
9
ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
2
3
5
ᎏᎏ ϩ 1
ᎏᎏ
3
3

΂ ΃

1
12 и Ϫᎏᎏ
4

2

1
3
ϭ 12 и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
16
4

΂ ΃ ΂ ΃

1
1 2
1
Ϫ4 ϩ 20 и Ϫᎏᎏ Ϫ Ϫᎏᎏ
Ϫ4 Ϫ 5 Ϫ ᎏᎏ
4
4
145
16
ᎏᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
12
1
3
Ϫᎏᎏ ϩ 1
ᎏᎏ
4
4

2 Ϫ (ෆ
͙ෆϪ2)

ϩ (Ϫ2) ϭෆ
͙4

Ϫ 2 ϭ 0

Ί2 Ϫ ΂ᎏ๶΃ ϩ ΂ᎏ2ᎏ΃ ϭ Ίᎏ๶ᎏ ϩ ᎏ2ᎏ
๶ 2ᎏ 3 4 3
3
3

1
⇒ x ϭ Ϫᎏᎏ no es solución.
4

5
ᎏᎏ ⇒ x ϭ Ϫ2 no es solución.
4

5
2
ᎏᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ no es solución.
4
3

1
9
2 Ϫ ΂ ᎏ
Ϫ
Ί๶ᎏ๶΃ ϩ ΂Ϫᎏ1ᎏ΃ ϭ Ίᎏ๶ᎏ Ϫ ᎏ1ᎏ ϭ ᎏ3ᎏ Ϫ ᎏ1ᎏ ϭ ᎏ5ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ5ᎏ sí es solución.
4
4
4
4
2
4
4
4
4.II. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
5x ؊ 2
7x ؊ 3
x ؊ 1
a) —— ؊ —— ‫—— ؍‬4
8
2
x ؉ 10
2(x ؊ 2)
5x ؊ 15
b) —— ؉ —— ‫—— ؍‬
2
5
3
a) 10x Ϫ 4 Ϫ 7x ϩ 3 ϭ 4x Ϫ 4 → x ϭ 3
b) 15x ϩ 150 ϩ 12x Ϫ 24 ϭ 50x Ϫ 150 → x ϭ 12

EJERCICIOS PROPUESTOS
4.1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) x 2 ؊ 8x ؉ 15 ‫0 ؍‬

b) x 2 ؉ 9x ؉ 14 ‫0 ؍‬

c) ؊2x 2 ؊ 5x ؉ 3 ‫0 ؍‬

d) 7x ؉ 2 ‫03 ؍‬x 2

xϭ5
8 Ϯ ͙ෆෆ
64 Ϫ 60
a) x ϭ ᎏᎏ ϭ
2
xϭ3

x ϭ Ϫ2
5 Ϯ ͙ෆෆ
25ϩ 24
c) x ϭ ᎏᎏ ϭ
1
Ϫ4
x ϭ ᎏᎏ
2

x ϭ Ϫ2
Ϫ9 Ϯ ͙ෆ6
81 Ϫ 5ෆ
b) x ϭ ᎏᎏ ϭ
2
x ϭ Ϫ7

7 Ϯ ͙ෆ40
49 ϩ 2ෆ
d) 30x 2 Ϫ 7x Ϫ 2 ϭ 0 ⇒ x ϭ ᎏᎏ ϭ
60

Ά

Ά

Ά

24
2
x ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ ᎏ
60
5

Ά

10
1
x ϭ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ
60
6

4.2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 3x 2 ؉ 18x ‫0 ؍‬

c) 16x 2 ؊ 25 ‫0 ؍‬

b) 4x 2 ‫9 ؍‬

d) ؊5x 2 ؉ 7x ‫0 ؍‬

a) x(3x ϩ19) ϭ 0 ⇒

x ϭ 0

18
Ά3x ϩ 18 ϭ 0 ⇒ x ϭ Ϫᎏ3ᎏ ϭ Ϫ6

9
Ίᎏ๶ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ3ᎏ x ϭ Ϫᎏ3ᎏ
4
2
2
25
25
5
5
c) x ϭ ᎏᎏ ⇒ x ϭ Ϯ ᎏᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ x ϭ Ϫᎏᎏ
Ί๶
16
16
4
4
x ϭ 0
7
d) x(Ϫ5x ϩ 7) ϭ 0 ⇒ Ϫ5x ϩ 7 ϭ 0 ⇒ x ϭ ᎏᎏ
Ά
5

9
b) x 2 ϭ ᎏᎏ ⇒ x ϭ Ϯ
4
2

3
4.3. Escribe una ecuación de segundo grado tal que la suma de sus soluciones sea ؊——, y el producto, ؊1.
2
¿Cuáles son dichassoluciones?
3
1
x 2 ϩ ᎏᎏ x Ϫ 1 ϭ 0 ⇒ 2x 2 ϩ 3x Ϫ 2 ϭ 0, cuyas soluciones son x ϭ ᎏᎏ y x ϭ Ϫ2.
2
2

4.4. Indica el número de soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) x 2 ؉ x ؉ 4 ‫0 ؍‬

b) x 2 ؊ 18x ؉ 80 ‫0 ؍‬

a) ⌬ ϭ Ϫ15 Ninguna

b) ⌬ ϭ 4 Dos

c) 4x 2 ؉ 4x ؉ 1 ‫0 ؍‬

d) 36x 2 ؊ 12x ؉ 1 ‫0 ؍‬

c) ⌬ ϭ 0 Una

d) ⌬ ϭ 0 Una

4.5. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)3(x ؊ 3)2 ؊ 2x ‫ ؊ 3(5 ؍‬x)
b) (x ؊ 1)2 ؉ 2(x ؊ 2)2 ‫ ؍‬x ؊ 1
c) 3(x ؉ 1)2 ؊ 2(x ؉ 3)2 ‫(4 ؍‬x ؉ 4) ؊ 10
a) 3(x 2 ϩ 9 Ϫ 6x) Ϫ 2x ϭ 15 Ϫ 5x; x 2 Ϫ 5x ϩ 4 ϭ 0; x ϭ 1, x ϭ 4
5
b) x 2 ϩ 1 Ϫ 2x ϩ 2(x 2 ϩ 4 Ϫ 4x) ϭ x Ϫ 1; 3x 2 ϩ 10 Ϫ 11x ϭ 0; x ϭ 2, x ϭ ᎏᎏ
3
7
c) 3x ϩ 3 Ϫ 2(x 2 ϩ 9 Ϫ 6x) ϭ 4x ϩ 16 Ϫ 10; Ϫ2x 2 Ϫ 13x Ϫ 21 ϭ 0; x ϭ Ϫ3, x ϭ Ϫᎏᎏ
2

4.6. Calcula dos números naturales consecutivostales que la suma de sus cuadrados sea 545.
Dos números naturales consecutivos: n, n ϩ 1
n 2 ϩ (n ϩ 1)2 ϭ 545 ⇒ n 2 ϩ n Ϫ 272 ϭ 0 → n ϭ 16 (solución: 16 y 17), n ϭ Ϫ17 (no válida)

4.7. Opera y resuelve las ecuaciones bicuadradas obtenidas.
a) 2(x ؉ 1)4 ؊ 8x 3 ؊ 8(x ؉ 3) ؉ 8 ‫0 ؍‬
24
b) —— ‫3 ؍‬x 2 ؊ 6
x2
x2 ϭ 1
Ϫ6Ϯ ͙ෆ8
36ϩ2ෆ
a) 2x 4 ϩ 12x 2 Ϫ 14 ϭ 0 → x 4 ϩ 6x 2 Ϫ 7 ϭ 0 → x 2 ϭ ᎏᎏ ϭ 22
x ϭ Ϫ7

Ά

Por lo que las soluciones son x ϭ Ϫ1, x ϭ 1. (x 2 ϭ Ϫ7 no tiene solución real.)
x2 ϭ 4
2 Ϯ ͙4ϩ32
ෆ
b) 3x 4 Ϫ 6x 2 Ϫ 24 ϭ 0 → x 4 Ϫ 2x 2 Ϫ 8 ϭ 0 → x 2 ϭ ᎏᎏ ϭ 2
2
x ϭ Ϫ2

Ά

Por lo que las soluciones son x ϭ Ϫ2, x ϭ 2. (x 2 ϭ Ϫ2 no tiene solución real.)

Solucionario
4.8. Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización.
a) x 3 ؊ 6x 2 ؉ 9x ؊ 4 ‫0 ؍‬
b) 6x 4...