ejercicios resueltos funcion inversa funciones vectoriales

Ejercicios tomados de la guía:
“DIFERENCIACION DE FUNCIONES VECTORIALES”
Profesores: Enrique Flores Y Jesús Jiménez
Universidad de Carabobo.

□ EJEMPLO 46

Dada la función:




a)Establecer si alrededor de la imagen de F(2,45,120) existe un abierto donde F tenga una inversa continuamente diferenciable.

b) De ser posible, hallar un valor aproximado de ,  y  cuando

x =-0.6;
y = 1.21;
z = 1.4

Empleando la transformación afín aproximante de F-1 en la imagen F(2,45,120).




SOLUCIÓN

En principio,
 = 2,
= 45 = /4 y
 =120 = 2/3.Luego:


Calculando la matriz jacobiana de F:



se observa que todas las funciones derivadas parciales de ésta matriz son continuas en (2,/4, 2/3). Luego F es continuamente diferenciableen (2,/4, 2/3) y:


Calculando el determinante de esta matriz:




Como F es continuamente diferenciable en (2,/4, 2/3) y

,

entonces existe un abierto que contiene a

F(2,/4,2/3) = donde F tiene una inversa continuamente diferenciable.





b) Sea F -1 la inversa de F en un abierto que contenga a F(2,/4, 2/3) .La matriz del diferencial de F -1 es:El cálculo de es:





El elemento de la fila “i” y la columna “j” de se obtiene a través de la expresión:


siendo Mij la matriz que se obtiene eliminando la fila “i” y la columna “j” de.

Por ejemplo, el elemento de la fila 2 y columna 3 es:



Siguiendo al mismo procedimiento, se obtienen todos los elementos de , y resulta que:

y en consecuencia:



por otraparte :


La transformación afín aproximante de F -1 en es:

Sustituyendo:


para x=-0.6 , y=1.21 y z=1.4:



Se deja al lector verificar que los valores de ,  y  puedencalcularse a través de:
, ,

y que si se calculan los valores para x=-0,6; y=1,21, z=1,4, se obtiene que  = 1.945 ;  = 0.766 ;  = 2.031; valores cercanos a los calculados a través de...