Ejercicios resueltos geometria analitica

GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS GEOMETRIA ANALITICA
PROF: PAOLA BARILE M.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS , DIVISION DE UN TRAZO y LUGAR GEOMETRICO
1.- Un punto P(x,y) se mueve de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos
(-2,0) y (2,0) es 26 unidades. Demuestre que la ecuación resultante es x2 + y2 = 9.
Respuesta:
( ( x + 2) 2 + ( y + 0) 2 ) 2

+ ( ( x − 2) 2 + ( y − 0) 2) 2 = 26

( x + 2) 2 + y 2 + ( x − 2) 2 + y 2 = 26

2 x 2 + 2 y 2 = 18

x2 + y2 = 9

2.- Sean los puntos P(x,y), A(1,0) y B(-1,0). El punto P describe un lugar geométrico sujeto a la
condición PA + PB = 4, con PA y PB distancias:
a) Demuestra que la ecuación representativa del lugar geométrico es:
3x2 + 4y2 = 12.
b) Grafique 3x2 + 4y2 = 12, indicando centro y vértices.
Respuesta:
PA=( x + 1) 2 + y 2

y

PB = ( x − 1) 2 + y 2

Entonces
PA +PB = 4
PA = 4 - PB
/( ) 2
2
(PA) = 16 - 8PB +( PB) 2
( x + 1) 2 + y 2 = 16 − 8 ( x − 1) 2 + y 2 + ( x − 1) 2 + y 2
x 2 + 2 x + 1 = 16 − 8 ( x − 1) 2 + y 2 + x 2 − 2 x + 1
4 x − 16 = −8 ( x − 1) 2 + y 2
x 2 − 8 x + 16 = 4( x 2 − 2 x + 1 + y 2 )
x 2 − 8 x + 16 = 4 x 2 − 8 x + 4 y 2
3x 2 + 4 y = 12

/(

)2

→3.-Determine los puntos P y Q que dividen al trazo AB en tres partes iguales, siendo A = (2, -6 ) y B
= ( 5, 3 ).
Respuesta:
A

P

Q

B

AP 1
= =λ
PB 2
1
1
3 6
λx2 + x1 2 5 + 2
y = 2 =3⇒ x =
=
= 3 → P(3,−3)
3
3
1+ λ
2
2

AQ
6−6
2⋅5 + 2
=2⇒ y=
=0⇒ x=
= 4 → Q(4,0)
3
QB
3
2
RECTA
1.- En el plano cartesiano determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,3) yque es
paralela a la recta de ecuación 3x – 2y + 6 = 0
Respuesta:

3x − 2 y + 6 = 0 ⇔ y =

3
3
x+3⇒ m = .
2
2

Luego la ec.de la recta que es paralela a ésta y que pasa por el punto ( 1,3 ) es:

y −3 =

3
3
3
( x − 1) ⇔ y = x +
2
2
2

2,.- Considere la recta L: hx + (h - 1)y - 18 = 0 con h ∈IR.
a)Determine el valor de h tal que L sea paralela a la recta de ecuación 3x -2y - 11 =0
b)Calcule h para que el centro de la circunferencia de ecuación
pertenezca a la recta L.

x2-8x+y2 -20y +112=0

Respuesta:
a) L y la recta 3x - 2y - 11 = 0 son paralelas si tienen igual pendiente
pendiente de L = −

−

h
3
=
h −1
2

h
3
, pendiente de la otra recta =
h −1
2

⇔

h=

3
5

hasta aquí 3,0 puntos

parte final 4,0 puntos

b)

x 2 − 8 x + y2 − 20 y + 112 = 0

⇔

( x − 4) 2 + ( y − 10) 2 = 4

Centro de la circunferencia es (4, 10)
Hasta aquí
Para que (4, 10)∈ L debe ser
Lo cual ocurre si

14 h =28 ⇔

4,0 puntos

4h + 10( h - 1) - 18 =0
h=2

3.- Encuentre el valor de k, de modo que la recta 3kx + 5 y + (k − 2) = 0 pase por el punto ( -1, 4 ).
Respuesta:
Si la recta 3kx + 5 y + (k − 2) = 0 pasa por ( -1 , 4 ) ,entonces este punto satisface su ecuación.
Luego se tiene :

3k (−1) + 5 ⋅ 4 + k − 2 = 0 ⇔ −2k + 18 = 0 ⇔ k = 9
4.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 5, -3 ) y es perpendicular a la recta
3y − 2x + 6 = 0 .
Respuesta:

y=

2
3
x − 2 ⇒ m⊥ = −
3
2

Luego la ecuación de la recta es:

3
3
9
y + 3 = − ( x − 5) ⇒ y = − x +
2
2
2
5.-Sabiendo que el punto Q( 9 ,2 ) divide al segmento que determinan los puntos P ( 6 , 8 ) y A ( x , y
) en la razón
a)
b)

PQ 3
:
=
QA 7

Hallar las coordenadas de A
Determinar la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al segmento PA.

Respuesta:

a)

∴

3
3⎞
⎛
8+ y ⎟
⎜6+ x
7 ,
7 ⎟ ⇒ ( 9 ,2 ) = ⎛ 42 + 3 x , 56 + 3 y ⎞
(9, 2) =⎜
⎜
⎟
3 ⎟
10 ⎠
⎜ 1+ 3
⎝ 10
1+ ⎟
⎜
7
7 ⎠
⎝
42+ 3 x
56 + 3 y
∧
9=
2=
10
10
90 − 42 = 3 x ∧
20 − 56 = 3 y
∧
−36 = 3 y
48 = 3 x
∧
x = 16
y = − 12

A (16 , − 12 )

⇒
b)

mPA = m( 6,8)

(16 , −12 )

=

− 12 − 8
1
= − 2 ⇒ mL =
16 − 6
2

1
(x − 16)
2
L : X − 2Y − 40 = 0

∴ Dado la ecuación punto pendiente se tiene L : y + 12 =

Es decir la ecuación pedida está dada por

CONICAS
1.- Hallar la ecuación de...