Ejercicios Resueltos Integrales De Linea 2011

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC

1
1.1

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Integrales de Línea
Problemas

Calcular la integral de trayectoria

Z

!
r

x2
x3
ds; donde !
r es la trayectoria y =
y
2

entre los puntos (0; 0) y (2; 2) :
Solución
Primero, determinemos
la ecuación paramétrica de latrayectoria
9
x= t =
t2
t 2 [0; 2] () !
r (t) = t;
t2
;
2
y=
2
Derivando la expresión anterior,pqueda
!
r 0 (t) = (1; t) =) k!
r 0 (t)k = 1 + t2
Además
x3
=) f (!
r (t)) = 2t
f (x; y) =
y
A partir de la de…nición de integral de trayectoria tenemos
Z

!
r

x3
ds =
y
=
=

1.2

Z

0

2

2t

p
1 + t2 dt

2
3=2
1 + t2
3
2 p
75 1
3

2
0

Problema

Dada la función escalar f (x; y) = 2xy; calcular la integral detrayectoria a lo
x2
y2
largo de la curva elipse
+
= 1 desde el punto (3; 0) hasta (0; 2).
9
4
Solución
Observemos que !
r es el segmento de elipse que está en el primer
cuadrante.Entonces al parametrizar la curva queda
x = 3 cos t
t 2 0; 2 () !
r (t) = (3 cos t; 2sent)
y = 2sent
Derivando la trayectoria
p
!
r 0 (t) = ( 3 sin t; 2 cos t) () k!
r 0 (t)k = 5sen2 t + 4
Calculemos la función escalar fsobre la trayectoria
f (x; y) = 2xy =) f (x (t) ; y (t)) = 6 cos tsent
Calculemos la integral

1

Z

!
r

2xyds =
=
=

1.3

Problema

Calcular la integral de línea

Z

Z

=2
0

p
12 cos tsent 5sen2 t + 4dt

4
5sen2 t + 4
5
76
5

!
r

=2

3=2

0

xydx + x2 dy; donde !
r es la trayectoria

x2 + 4y 2 = 4; x > 0:
Solución
Primero, escribamos la ecuación paramétrica de la trayectoria orientadapositivamente
x = 2 cos t
t2
=) !
r (t) = (2 cos t; sent)
2; 2
y = sent
!
F (x; y) = xy; x2

!
2
=) F (x (t) ; y (t)) = 2 cos tsent; (2 cos t)

Determinemos el vector !
r 0 = ( 2sent; cos t)
Calculemos la integral
Z

2

!
r

xydx + x dy

=
=
=

Z

=2

( 2sent; cos t) dt

=2

Z

=2

( 4sen2 t cos t + 4 cos3 t)dt
=2

Z

=2

( 8sen2 t cos t + 4 cos t)dt
=2

8
sen3 t + 4sent
3

=

1.4

2

2 cos tsent; (2 cost)

2

=
2

8
3

Problema

Calcular la integral de línea

Z

!
r

y 2 dx + xdy; donde !
r es la trayectoria

y 2 = 2x x2 ; tal que x > 1; y > 0:
Solución
Observemos que !
r es el segmento de circunferencia:
2
y 2 = 2x x2 () (x 1) + y 2 = 1 tal que x > 1; y > 0:
2

Entonces:
x = 1 + cos t
t 2 0; 2 =) !
r (t) = (1 + cos t; sent)
y=
sent
=) !
r 0 (t) = ( sent; cos t)
!
Calculemos el campo vectorialF sobre la trayectoria
!
!
F (x; y) =
y 2 ; x =) F (x (t) ; y (t)) =
sen2 t; 1 + cos t
Calculemos la integral
Z

!
r

y 2 dx + xdy

=
=

Z

Z

=2

sen3 t + cos2 t + cos t dt
0
=2
0

=

1.5

cos2 t sent + (

1
cos t +

1 + cos 2t
) + cos t dt
2

cos3 t
t
sen2t
+ +
+ sent
3
2
4

=2
0

1
+ +1
3
4

=

1

=

5
+
3
4

Problema

Calcular la integral de línea

Z

!
r

(8x + z)dx + 2xz 2 dy

4y 2 dz;siendo !
r la curva

de…nida por las ecuaciones: z = 9 2x2 4y 2 ; z = 1:
Solución
Observemos, que la curva contenida en elpplano z = 1, es la elipse
2x2 + 4y 2 = 8;con semi ejes a = 2 y b = 2; que se parametriza
mediante.
9
x = p2 cos t =
p
t 2 [0; 2 ] =) !
r (t) = 2 cos t; 2sent; 1
t 2 [0; 2 ]
y=
2sent
;
z=
1
!
Calculemos el campo vectorial F sobre la trayectoria
!
!
F (x; y; z) = 8x + z; 2xz 2 ; 4y2 =) F (x (t) ; y (t)) = (16 cos t + 1; 4 cos 1t; 1)
Evaluemos el vector
p
!
r 0 (t) =
2sent; 2 cos t; 0 luego, obtenemos
p
!
F (x (t) ; y (t)) !
r 0 (t) = (16 cos t + 1; 4 cos t; 1)
2sent; 2 cos t; 0
Entonces la integral de línea es

Z

!
r

(8x + z)dx + 2xz 2 dy

4y 2 dz =

Z

2

32sent cos t
0

3

p
2sent + 4 2 cos2 t dt

2

=

16sen t + 2 cos t
p t
sen2t
4 2
+
2
4
p
4 2

=
=

1.6

p Z
+4 22
0

2

2
0

1 + cos 2t
2

dt

0

Problema

!
Calcular el trabajo producido por campo de fuerzas dado por F = (3x+4y; 2x+
2
3y ); a lo largo de la circunferencia C de radio 2 centrada en el origen y recorrida
con orientación positiva
Solución
De…nimos el trabajo mediante la integral de línea
Z

!
r

! !
F dr =

Z

b

a

! !
F ( r (t)) !
r 0 (t) dt

Luego, parametrizando la trayectoria tenemos:
!...