ejercicios resueltos limites (calculo)

UNIVERSIDAD TECNLOGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CALCULO DIFERENCIAL

TALLER N° 1
UNIDAD 1: DESIGUALDES E INECUACIONES.INECUACIONES SIN VALOR ABSOLUTO
El logro de aprendizaje esperado: Aplica los axiomas de orden de los números reales y sus
consecuencias para resolver inecuaciones lineales, cuadráticas, polinómicas, y
fraccionarias sin valor absoluto, expresando la solucióncon intervalos reales.
Contenidos:
Axiomas de orden de los Números Reales.
Desigualdades e Intervalos.
Inecuaciones sin Valor Absoluto.

AXIOMAS DE ORDEN DE LOS NUMEROS REALES.
Si a y b son dos números reales empleamos:
NOTACION
a≤b
a≥b
ab

SIGNIFICADO
a es menor ó igual b
a es mayor ó igual b
a es menor b
a es mayor b

Para cada a , b , c ∈ IR se cumple:
a≤a

Reflexividad:Antisimetría:

a ≤ b ∧ b ≤ a entonces a = b

Transitividad:

a ≤ b ∧ b ≤ c entonces a ≤ c
a≤b ∨ b≤a

Totalidad:

Compatibilidad del orden respecto la suma y resta:

a≤b

equivale

a + c ≤ b + c equivale a − c ≤ b − c
1

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Compatibilidad del orden respecto de la multiplicación y división pornúmeros reales
positivos:

a ≤ b equivale

a ⋅ c ≤ b ⋅ c equivale

a b
≤ , siempre que c > 0 .
c c

Observación:
Cuando c < 0 , se tiene que: a ≤ b equivale

a ⋅ c ≥ b ⋅ c equivale

a b
≥
c c

Actividades:
1

Analice la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1.1

+
Para cada a , b ∈ IR0 : se cumple que a ≤ b equivale a 2 ≤ b 2 .

1.2

Para cada a , b∈ IR0− : se cumple que a ≤ b equivale a 2 ≤ b 2 .

1.3

Para cada a , b ∈ IR : se cumple que a ≤ b equivale a 3 ≤ b 3 .

1.4

+
Para cada a , b ∈ IR0 : se cumple que a ≤ b equivale

1.5

Para cada a , b ∈ IR : se cumple que a ≤ b equivale

1.6

Si a ∈ IR , se tiene que a n ≤ a m equivale n ≤ m , siempre que n y m son
enteros positivos.

1.7

Si a ∈ IR , se tiene que a n ≤ am equivale n ≤ m , siempre que n y m son
enteros negativos.

1.8

Si a ∈ IR , se tiene que
son enteros positivos.

1.9

Si a ∈ IR , se tiene que
son enteros negativos.

2
3
4
4.1
4.2
4.3

n

n

a ≤ b .
3

a ≤3 b .

a ≤ m a equivale n ≤ m , siempre que n y m

a ≤ m a equivale n ≤ m , siempre que n y m

En caso de las afirmaciones falsas en la actividad 1, muestrecontraejemplos y
determine intervalos de IR donde se cumple(n) tal(es) enunciado(s).
Repita las actividades 1 y 2 considerando:
“ ≥ ” en lugar de “ ≤ ”
“ < ” en lugar de “ ≤ ”“
> ” en lugar de “ ≤ ”.

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DESIGUALDADES E INTERVALOS
Sean a , b ∈ IR tales que a < b se definen:
Intervalo Cerrado yAcotado:
x
a

[a, b] := {x ∈ IR / a ≤ x ≤ b}
x
b

Intervalo Abierto y Acotado: ]a, b[ := {x ∈ IR / a < x < b}
o
o
b
a
Intervalo cerrado por la izquierda, abierto por la derecha y acotado:
[a, b[ := {x ∈ IR / a ≤ x < b}
x
a

o
b

Intervalo abierto por la izquierda, cerrado por la derecha y acotado:
]a, b] := {x ∈ IR / a < x ≤ b}
o
x
b
a
Intervalo cerrado por la izquierda,abierto por la derecha y acotado:
[a, b[ := {x ∈ IR / a ≤ x < b}
x
a

o
b

Intervalo abierto y no acotado inferiormente, pero cerrado y acotado superiormente:
]− ∞, a ] := {x ∈ IR / x ≤ a}
x
a
Intervalo abierto, no acotado inferiormente pero acotado superiormente:
]− ∞, a[ := {x ∈ IR / x < a}
o
a
Intervalo cerrado y acotado inferiormente, pero abierto y no acotado superiormente:
[b, ∞[:= {x ∈ IR / x ≥ b}
x
b
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CALCULO DIFERENCIAL

Intervalo abierto, acotado inferiormente pero no acotado superiormente:
]b, ∞[ := {x ∈ IR / x > b}
o
b
Ejemplo:
Para simplificar:
(]− ∞,−7] U ]− 2,15[) I ([− 10,1[ U [4, ∞[)
representación gráfica:
]− ∞,−7]
]− 2,15[
X

−∞

o

-7

o
-2

o

-10

1...