Ejercicios resueltos Lógica Universidad de la Frontera 1

Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenier´ıa, Ciencias y Administraci´on.

TEMUCO, Marzo 26 de 2013

Departamento de Matem´
atica y Estad´ıstica

Resoluci´
on Gu´ıa de Trabajo. L´
ogica.
Fundamentos de Matem´
aticas.
Profesores: P. Valenzuela - A. Sep´
ulveda - A. Parra - L. Sandoval - J. Molina - E. Milman M. Choquehuanca - H. Soto - E. Henr´ıquez.
Ayudante: Pablo Atu´an.
1. Simbolizar,sustituyendo las proposiciones b´asicas por letras may´
usculas.
(a) Si x = y, entonces x = 1 y x = z

(f) x + y = 2 ´o x + y = 0

(b) Si x = y, entonces x = 2

(g) Si x = y e y = z, entonces x > z

(c) Si x + y = 3, entonces y + 3 = 3

(h) Si x = 2, entonces y > 1

(d) x + y = 2 y z = 1

(i) Si x = 0 ´o x = 3, entonces x = 1

(e) Si x − y = 2, entonces y − x = 2

(j) Si x + y > z y z = 1, entoncesx + y > 1

Soluci´
on:
(a) Sea P la proposici´
on x = y, sea Q la proposici´
on x = 1 y sea R la proposici´
on x = z. Entonces la
proposici´
on general ser´ıa P −→ (Q ∧ R).
(b) Sea P la proposici´
on x = y y sea Q la proposici´
on x = 2. Entonces la proposici´
on general ser´ıa
P −→ Q.
(c) Sea P la proposici´
on x + y = 3 y sea Q la proposici´
on y + 3 = 3. Entonces la proposici´
on general
ser´ıaP −→ Q.
(d) Sea P la proposici´
on x + y = 2 y sea Q la proposici´
on z = 1. Entonces la proposici´
on general ser´ıa
P ∧ Q.
(e) Sea R la proposici´
on x − y = 2 y sea S la proposici´
on y − x = 2. Entonces la proposici´
on general
ser´ıa R −→ S.
(f ) Sea A la proposici´
on x + y = 2 y sea B la proposici´
on x + y = 0. Entonces la proposici´
on general
ser´ıa A ∨ B.
(g) Sea H la proposici´
on x =y, sea J la proposici´
on y = z y sea K la proposici´
on x > z. Entonces la
proposici´
on general ser´ıa (H ∧ J) −→ K.
(h) Sea X la proposici´
on x = 2 y sea Y la proposici´
on y > 1. Entonces la proposici´
on general ser´ıa
X −→ Y .
(i) Sea P la proposici´
on x = 0, sea Q la proposici´
on x = 3 y sea R la proposici´
on x = 1. Entonces la
proposici´
on general ser´ıa (P ∨ Q) −→ R.
(j) Sea D laproposici´
on x + y > z, sea S la proposici´
on z = 1 y sea M la proposici´
on x + y > 1.
Entonces la proposici´
on general ser´ıa (D ∧ S) −→ M .
1

2. Formar dos proposiciones compuestas con las frases que se entregan a continuaci´on. Expresarlas simbolizadas.
(a) ”ven pronto”

(c) ”olvidate”

(b) ”No quiero estar contigo”

(d) ”Tengo planes para ma˜
nana”

Soluci´
on: Dos proposiciones compuestaspueden ser: ”Si no tengo planes para ma˜
nana entonces quiero
estar contigo” y ”Tengo planes para ma˜
nana y no quiero estar contigo”.
3. Se˜
nalar los t´erminos de enlace y luego simbolizar cada una de las proposiciones siguientes.
(a) No es la hora y la clase de matem´
atica no termina.
(b) Si no estamos en primera fila, entonces no se entiende la clase.
(c) Si dos n´
umeros no son iguales,entonces uno es mayor que el otro.
(d) x < 5 siempre que x sea negativo.
Soluci´
on:
(a) Sea P la proposici´
on ”es la hora” y Q la proposici´
on ”la clase de matem´
atica termina”. Entonces seg´
un
el enunciado los Enlaces ser´ıan ”No”, ”Y” y nuevamente ”No”. Por lo tanto llev´
andolo a un lenguaje
simb´
olico la proposici´
on general ser´ıa ¬P ∧ ¬Q.
(b) Sea M la proposici´
on ”estamos en primerafila” y sea L la proposici´
on ”se entiende la clase”. Entonces seg´
un el enunciado los enlaces ser´ıan ”Si...,Entonces...”, ”No” y nuevamente ”No”. Por lo tanto
llev´
andolo a un lenguaje simb´
olico la proposici´
on general ser´ıa ¬M −→ ¬L.
(c) Sea A la proposici´
on ”dos n´
umeros son iguales” y sea B la proposici´
on ”uno es mayor que el otro”.
Entonces seg´
un el enunciado los enlaces ser´ıan”Si..., Entonces...”, ”No”. Por lo tanto llev´
andolo a un
lenguaje simb´
olico la proposici´
on general ser´ıa ¬A −→ B.
(d) Sea P la proposici´
on x < 5 y sea Q la proposici´
on x es negativo. Entonces seg´
un el enunciado, los enlaces
ser´ıan ”siempre que”. El enlace ”siempre que” se puede considerar un equivalente a ”Si..., Entonces...”.
Por lo tanto llev´
andolo a un lenguaje simb´
olico la...