Ejercicios Resueltos MAT1610

´ lica de Chile
Pontificia Universidad Cato
´ ticas
Facultad de Matema

Problemas Resueltos

MAT1610 – C´
alculo I

Sebasti´an Urrutia Quiroga
sgurruti@uc.cl
http://web.ing.puc.cl/~ sgurruti/
Versi´
on 1.0

19 de noviembre de 2012

´Indice
1. L´ımite de sucesiones

2

1.1. Sucesiones, supremo e ideas de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. L´ımites . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2. L´ımite de funciones y continuidad

15

2.1. L´ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3. Derivadas

28

3.1. Derivaci´on . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2. Derivadas de orden superior, Teoremas de la funci´on inversa e impl´ıcita . . . . . . . . .

33

3.3. Regla de L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.4. Aplicaciones: tasas relacionadas, Teorema del valor medio y aproximaciones . . . . . . .

44

3.5. M´aximos y m´ınimos,gr´afico de funciones y otros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4. Integral de Riemann

65

4.1. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.3. Teorema Fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

78

4.4. Funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.5. Teoremas de integraci´on por partes y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.6. Sustituciones trigonom´etricas, fracciones parciales y otros teoremas . . . . . . . . . . .

97

5. Polinomios de Taylor y transici´
on a C´
alculo II

109

5.1.Aplicaciones del Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2. Integrales y c´alculo de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

–1–

1.

L´ımite de sucesiones

1.1.
(1)

Sucesiones, supremo e ideas de l´ımite
a) Sean A y B dos conjuntos, definimos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}, entonces demuestre que
sup (A + B) = sup (A)+ sup (B).
b) Sea A ⊂ R un conjunto acotado superiormente y sea −A = {−x | x ∈ A}. Pruebe que −A es
acotado inferiormente y que ´ınf {−A} = − sup {A}.

Soluci´
on:
a) Demostraremos la propiedad demostrando dos desigualdades.
Primero sup (A + B) ≤ sup (A) + sup (B):
Un elemento de A + B se escribe como x + y, y este n´
umero es menor que sup (A) + sup (B),
pues x ≤ sup (A) e y ≤ sup (B). Con ellotenemos que sup (A) + sup (B) es una cota superior
del conjunto A + B. Entonces el sup (A + B) debe ser menor que sup (A) + sup (B). Luego,
sup (A + B) ≤ sup (A) + sup (B)
Segundo sup (A + B) ≥ sup (A) + sup (B):
Sabemos que para todo x ∈ A e y ∈ B, x + y ≤ sup (A + B), es decir para todo x ∈ A se
tiene x ≤ sup (A + B) − y, lo que equivale a decir que para todo y ∈ B, se tiene que el real
sup (A+ B) − y, es cota superior de A. Entonces para todo y ∈ B se tiene que sup (A) ≤
sup (A + B) − y. Como es para todo y ∈ B, entonces tenemos y ≤ sup (A + B) − sup (A).
Luego sup (B) ≤ sup (A + B) − sup (A). Con lo cual se tiene la otra desigualdad.
As´ı,
sup (A + B) = sup (A) + sup (B)
b) Sea a ∈ R cota superior de A; es decir, para todo x ∈ A se tiene que x ≤ a. Multiplicando por
−1 obtenemos que−a ≤ −x. Recordemos que un elemento y ∈ −A es de la forma y = −x.
Es decir, para todo y ∈ −A tenemos que −a ≤ y. Por tanto, el conjunto −A es acotado
inferiormente y con ello, posee ´ınfimo ´ınf {−A}. Por otra parte, notemos que dado > 0,
existe x ∈ A tal que
sup {A} − < x ≤ sup {A}
De donde,
− sup {A} ≤ −x < − sup {A} +
y por lo tanto ´ınf {−A} = − sup {A}.

3n + 1
y luego demu´estrelo por...