ejercicios resueltos progresion lineal

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
A.- Problemas generales
B.- Problemas con porcentajes
C.- Problemas de dietas
D.- Problemas para profundizar

A.- PROBLEMAS GENERALES
Ejercicio 1.- En una fábrica se construyen sillas grandes y pequeñas. Las
sillas grandes necesitan 4 m2 de madera y las pequeñas 3 m2. El fabricante
necesita construir, al menos, tres sillas grandes y el número de sillaspequeñas debe ser al menos el doble que las de grandes. Se dispone de
60 m2 de madera y los beneficios son de 20€ y 35€ por silla pequeña y
grande, respectivamente. ¿Cuántas sillas de cada tipo se deben fabricar para
obtener el beneficio máximo?. ¿Cuánto ganaremos para dicha cantidad de
sillas?
Primer paso.- Dar nombre a las incógnitas. (Generalmente las incógnitas corresponden a
lo que tepregunta el ejercicio). Luego,
X= Número de sillas pequeñas que se fabrican.
Y= Número de sillas grandes que se fabrican.

Segundo paso.- Plantear el problema a partir de los datos del problema.

Max 20 x + 35 y
sujeto a :
y ≥ 3
x ≥ 2 y

3 x + 4 y ≤ 60
x ≥ 0

 y ≥ 0

⇒ Se fabrican al menos tres sillas gra ndes
⇒ El n º de sillas pequeñas es al menos el doble que el de grandes
⇒ En esta inecuación se reflejan las limitaciones de madera
⇒ El n º de sillas pequeñas debe ser un n º positivo y entero
⇒ El n º de sillas gra ndes debe ser un n º positivo y entero

La región factible quedará de la siguiente manera:

Donde (1) procede de la primera restricción, (2) de la segunda restricción y (3) de la
tercera restricción, y A=(6,3), B=(12,6) y C=(16,3).
Como elconjunto es limitado la solución se encontrará en uno de los vértices, luego
calcularemos la ganancia en cada uno de ellos.
F(A)= 20·6+35·3=225€
F(B)= 20·12+35·6=450€
F(C)= 20·16+35·3=425€
Luego el máximo se alcanza fabricando 12 sillas pequeñas y 6 sillas grandes, con un
beneficio de 450 €.
También podremos encontrar el máximo a partir de la recta de nivel, que está
representada con unalínea negra, y el vector de crecimiento.

Ejercicio 2.- Una empresa construye en dos factorías F1 y F2 tres tipos de
barcos R, S y T. La primera factoría construye en un mes: 1 barco de tipo
R, 1 de tipo S y 5 de tipo T, siendo su coste de mantenimiento mensual
6000€, y la segunda factoría construye en un mes: 1 barco de tipo R, 2 de
tipo S y 1 de tipo T, siendo su coste mensual de 3000€. Laempresa se ha
comprometido a entregar a cierto club náutico 3 barcos de tipo R, 12 de
tipo S y 15 de tipo T. ¿Cuántos meses deberá trabajar cada factoría con
objeto de que la empresa cumpla su compromiso con mínimo coste?.
¿Puede suprimirse alguna restricción sin que varíe el problema?
-Solución:
Debe de trabajar 2 meses la primera factoría y 5 meses la segunda factoría.
Puede suprimirse larestricción relativa a los barcos de tipo R, ya que, no
influye para la resolución del problema.

Ejercicio 3.- Un grupo de 114 alumnos prepara un viaje al Museo de las
Ciencias. Para ello dispone de 8 vehículos de 6 plazas y otros 8 de 15
plazas, pero solo se disponen de 10 conductores. El viaje con el vehículo de
6 plazas cuesta 8€ por persona y con el de 15 plazas 21€ por persona.Calcula cuántos vehículos de cada tipo deben utilizar los alumnos para que
el coste del transporte sea mínimo. ¿A cuánto asciende el precio del
transporte?
-Solución:
Se deben utilizar 4 vehículos de 6 plazas y 6 vehículos de 21 plazas.
El precio asciende a 1580€.

Ejercicio 4.- Una empresa dispone de 300 hectáreas para el cultivo de
hortalizas y remolacha. Por el problema de la sequía sólo sedispone de 400
dm2 de agua, y cada hectárea de hortaliza necesita 1’5 dm2 de agua, en
tanto que cada hectárea de remolacha necesita 1 dm2 de agua. Para atender
a necesidades mínimas hay que plantar obligatoriamente al menos 100
hectáreas de hortalizas y 50 de remolacha. Cada hectárea de hortalizas
produce unos beneficios de 25.000€ y cada hectárea de remolacha da unos
beneficios de...