Ejercicios resueltos relación carga-masa

Ejercicios resueltos
Bolet´ 6
ın
Campo magn´tico
e

Ejercicio 1
Un electr´n se acelera por la acci´n de una diferencia de potencial de 100 V y, posteo
o
riormente, penetra en una regi´n en la que existe un campo magn´tico uniforme de 2 T,
o
e
perpendicular a la trayectoria del electr´n. Calcula la velocidad del electr´n a la entrada
o
o
del campo magn´tico. Halla el radio de latrayectoria que recorre el electr´n en el interior
e
o
del campo magn´tico y el periodo del movimiento.
e

Soluci´n 1
o
1. Aplicando la ley de la conservaci´n de la energ´ mec´nica al movimiento del electr´n
o
ıa
a
o
dentro del campo el´ctrico, y suponiendo que el electr´n est´ inicialmente en reposo,
e
o
a
se tiene:
1
∆Ec + ∆Ep = 0;
m v 2 = −q ∆V
2
Despejando:
v=

−2 q ∆V
=m

−2 · (−1,6 · 10−19 ) · 100
= 6 · 106 m/s
9,1 · 10−31

2. Al penetrar el electr´n perpendicularmente al campo magn´tico, act´ a una fuerza
o
e
u
sobre ´l perpendicular a la velocidad y por ello describe una ´rbita circular.
e
o

R
F

v

1

Aplicando la segunda ley de Newton:
F = m aN ;

|q | v B sin 90◦ = m

v2
R

Despejando:
mv
9,1 · 10−31 · 6 · 106
R=
=
=1,8 · 10−5
−19 · 2
|q | B
1,6 · 10
3. El periodo del movimiento es:
T=

2 π 1,7 · 10−5
2πR
=
= 1,8 · 10−11 s
6
v
6 · 10

Ejercicio 2
En una regi´n del espacio donde existe un campo magn´tico uniforme B se lanza una
o
e
part´
ıcula cargada con velocidad v = v ı, observ´ndose que no se desv´ de su trayectoria.
a
ıa
¿Cu´l ser´ la trayectoria al lanzar la part´
a
a
ıcula conuna velocidad v ′ = v ? Representa
dicha trayectoria en los casos de que la carga sea positiva y negativa.

Soluci´n 2
o
Si la part´
ıcula no se desv´ de su trayectoria significa que se lanza en la direcci´n del
ıa
o
campo magn´tico. Por tanto, este tiene la direcci´n del eje X en cualquiera de sus dos
e
o
sentidos.
Asignando al campo magn´tico la expresi´n B = B ı y eligiendo elsistema de referencia
e
o
de la figura adjunta, se tiene que las expresiones de la fuerza magn´tica en los dos casos
e
son:
Y

v
F
B
q(+)

Z

Carga positiva: F+ = q (v × B ) = q v B ( × ı) = q v B (−k )
2

X

Y

v

B
F

X

q(−)

Z

Carga negativa: F− = q (v × B ) = −q v B ( × ı) = q v B k
El m´dulo de la fuerza es constante y la direcci´n es siempre perpendicular ala veo
o
locidad de la part´
ıcula, por lo que genera una aceleraci´n normal. La ´rbita es circular,
o
o
recorrida con velocidad constante y est´ contenida en el plano formado por F y v . En los
a
dos casos la ´rbita est´ contenida en el plano Y Z .
o
a

Ejercicio 3
Dos is´topos de un elemento qu´
o
ımico, cargados con una sola carga positiva y con masas
de 19,91 · 10−27 kg y21,59·−27 kg, respectivamente, se aceleran hasta una velocidad de
6,7 · 105 m/s. Seguidamente, entran en una regi´n en la que existe un campo magn´tico
o
e
uniforme de 0,85 T y perpendicular a la velocidad de los iones. Determina la relaci´n entre
o
los radios de las trayectorias que describen las part´
ıculas y la separaci´n de los puntos de
o
incidencia de los is´topos cuando han recorrido unasemicircunferencia.
o

Soluci´n 3
o

2R 2
2R 1

F
v

3

1. Al entrar las part´
ıculas perpendicularmente al campo magn´tico, act´ a sobre ellas
e
u
la fuerza de Lorentz que les obliga a describir una trayectoria circular. Aplicando la
segunda ley de Newton, se tiene:
v2
mv
⇒R=
R
|q | B
Denominando R1 al radio de la trayectoria del is´topo de menor masa y R2 al radio
o
dela trayectoria del otro is´topo, resulta que:
o
m1 v
m2 v
R1 =
; R2 =
|q | B
|q | B
Como los is´topos tienen la misma carga el´ctrica, cuanto mayor es la masa de la
o
e
part´
ıcula mayor es el radio de la trayectoria. Dividiendo miembro a miembro las dos
ecuaciones, queda que la relaci´n de radios es:
o
F = m aN ;

|q | v B sin ϕ = m

m1
19,91 · 10−27
R1
=
=
= 0,922...